Espai separable

En topologia, un espai topològic és un espai separable si inclou un subconjunt dens numerable.

Un espai de Hilbert és separable si i només si admet una base ortonormal numerable.

Espais de Hilbert separables

Sigui (H ,<,>) un espai de Hilbert separable. Si{ i _k } _{k ∈ B} és una base ortonormal numerable de V , llavors cada element x de V es pot escriure com

$x =\sum_{k\in B}\langle e_k, x\rangle e_k$

Aquesta suma també s'anomena la expansió de Fourier de x .

Exemples d'espais de Hilbert són $\mathbb K^n\,$ amb $\mathbb K =\mathbb R$ o $\mathbb K =\mathbb C,$ l'espai de les successions complexes quadrat-sumables $\ell^2 (\mathbb K)$ i l'espai de les funcions quadrat-integrables en el sentit de Lebesgue $L^2 (\mathbb R^n).$ Una gran varietat d'espais de Hilbert que es presenten en la pràctica són separables i són en particular els espais $\mathbb K^n$ i $\ell^2 (\mathbb K)$ els prototips principals d'espais de Hilbert, ja que tot espai de Hilbert separable de dimensió finita $n\,$ és isomorf a $\mathbb K^n$ mentre que tot espai de Hilbert separable de dimensió infinita és isomorf a $\ell^2 (\mathbb K)$.

Exemples

Espais separables

• El conjunt dels nombres reals R amb la topologia usual és separable per ser el conjunt dels nombres racionals Q un subconjunt dens numerable. En general, el espai euclidià R ⁿ és separable per ser Q ⁿ dens i numerable ja que és el producte de conjunts numerables .
• Igualment el conjunt dels nombres complexos C és separable sent en general, el espai euclidià C ⁿ també separable.

• Tot espai topològic numerable és separable.
• El conjunt de les funcions contínues en l'interval [0,1] també és separable.

Espais de Hilbert no separables

• El conjunt de totes les funcions reals $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$, que només són diferents de zero en un conjunt finit o comptable de punts S _f tals que:

$\sum_{x\in S_f}|f (x)|^2 <\infty$

Constitueix un espai de Hilbert no separable, dotat del producte escalar entre dues funcions f i g :

$\langle f, g\rangle =\sum_{S_f\cap S_g}\overline{f (x)}g (x)$

Necessàriament aquestes funcions d'aquest espai de Hibert no són contínues, ja que els espais normats de funcions reals contínues definides en $\mathbb{R}^n$ són sempre separables.