Espai topològic

Els espais topològics són els principals objectes de treball en la disciplina matemàtica de la topologia.

Definició

Per oberts

És la definició més emprada habitualment. Donat un conjunt $\ X$ qualsevol, considerem un cert subconjunt $\mathcal{T} \subseteq \mathcal{P}(X)$ del conjunt de les parts de $\ X$. Diem que $\mathcal{T}$ és una topologia de $\ X$ si compleix:

• $\empty, X \in \mathcal{T}$
• Donada una família arbitrària d'elements de la topologia $A_i \in \mathcal{T}, i\in I$, aleshores la seva reunió també hi pertany $\bigcup_{i \in I}A_i \in \mathcal{T}$.
• Donada una família finita d'elements de la topologia $A_1,\ldots, A_n \in \mathcal{T}$,

aleshores la seva intersecció també hi pertany $\bigcap_{i=1}^n A_i \in \mathcal{T}$.

Formalment diem que un espai topològic es un parell ordenat $(X,\mathcal{T})$, format per un conjunt $\ X$ y una topologia $\mathcal{T}$ actuant sobre $\ X$.

Direm que un subconjut $\ A$ de $\ X$ és un conjunt obert si $\ A$ pertany a $\mathcal{T}$. És a dir:

• $\ A$ és un obert en $\ X$ si $\ A \subseteq X \land \ A \in \mathcal{T}$

Direm que un subconjunt $\ C$ de $\ X$ és un conjunt tancat si $\ X \setminus A \in \mathcal{T}$

Per tancats

De manera anàloga es pot definir una topologia per tancats. Direm que $(X,\mathcal{T})$ és un espai topològic si es compleixen:

• $\emptyset \quad i \ X$ són conjunts tancats.
• Les interseccions arbitraries de conjunts tancats són tancades.
• Les unions finites de conjunts tancats son tancades.

Exemples

Topologia trivial

Sigui $\ X$ un conjunt qualsevol, considerem $\mathcal{T_{\rm t}} = \lbrace \empty, X \rbrace$:

• És força evident que $\empty, X \in \mathcal{T}$.

• Si prenem famílies arbitràries d'elements de $\mathcal{T}$, no tenim gaires tries; en particular obtenim $\empty \cup X = X \in \mathcal{T}$.

• Finalment, si fem una intersecció finita d'elements de $\mathcal{T}$, només podem obtenir $\empty \cap X = \empty \in \mathcal{T}$.

$\mathcal{T_{\rm t}} = \lbrace \empty, X \rbrace$ és, doncs, una topologia. Aquesta topologia s'anomena Topologia trivial i és la més petita topologia (en el sentit de què té el menor nombre d'elements posibles) que podem formar amb qualsevol conjunt $\ X$ .

Topologia discreta

Sigui $\ X$ un conjunt qualsevol, considerem $\mathcal{T_{\rm D}} = \mathcal P (X)$, el conjunt de les parts de $\ X$.

• És força evident que el conjunt de les parts compleix les tres condicions de topologia perquè no li manca cap conjunt que es pugui construir amb elements de $\ X$.

Aquesta topologia s'anomena Topologia discreta i és la més gran (o més fina) que es pot formar amb qualsevol conjunt $\ X$.

Topologia usual en R

Sigui $\ X = \R$ considerem $\mathcal{T_{\rm u}}= \{ \quad ]a,b[ \quad | a <\ b \wedge a,b \in \R \}$

• Es pot veure com $(\R, \mathcal{T_{\rm u}})$ forma un Espai Topològic

Aquesta topologia és anomenada usual perquè ve induïda per la mètrica usual de $\R$. No és difícil generalitzar aquesta topologia per a $\R^{n}$. Sol ser la topologia més utilitzada i la que, generalment, s'empra en l'anàlisi real així com en altres parts de les matemàtiques.

Vegeu també

• Revestiment topològic

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Espai topològic