Teorema de Rashevsky–Chow

En geometria sub-riemanniana, el teorema de Rashevsky–Chow (també conegut com teorema de Chow) afirma que dos punts qualssevol d'una varietat sub-riemanniana connexa, juntament amb una distribució generada a partir de claudàtors, estan connectats per un camí horitzontal dins de la varietat. Du el nom de Petr Constantinovitx Rashevsky, que el va demostrar l'any 1938 i de Wei-Liang Chow que ho va fer també, independentment, l'any 1939.

El teorema es pot expressar en diferents afirmacions equivalents, una de les quals diu que la topologia induïda per la mètrica de Carnot–Carathéodory metric és equivalent a la topologia intrínseca (localment euclidiana) de la varietat. Una afirmació més forta que implica el teorema és el teorema de bola-caixa (ball-box theorem en anglès). Vegeu, per exemple, Montgomery (2006) i Gromov (1996).

De vegades s'utilitza el terme teorema de Chow per fer referència al següent corol·lari: sigui $M$ una varietat connexa i $\Delta$ una distribució infinitament diferenciable en $M$ , llavors si l'àlgebra de Lie de $\Delta$ cobreix tot l'espai tangent de la varietat (és a dir, si ${\text{Lie}}^{(\infty )}(\Delta )=TM$ ), llavors, per a qualsevol punt $x_{0}\in M$ , l'òrbita és tota la varietat (és a dir, ${\mathcal {O}}(x_{0},\Delta )=M$ ).^[1]

Vegeu també[modifica]

Òrbita (teoria de control)

Referències[modifica]

↑ Bullo, Francesco; Lewis, Andrew D. Geometric Control of Mechanical Systems (en anglès). 1a edició. Nova York: Springer, 2005, p. 110. ISBN 978-1-4899-7276-7.

Bibliografia[modifica]

Chow, W.L. «Über Systeme von linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung». Mathematische Annalen, 117, 1939, p. 98–105. DOI: 10.1007/bf01450011.
Gromov, M. [27 setembre 2011]. «Carnot-Carathéodory spaces seen from within». A: A. Bellaiche. Proc. Journées nonholonomes: géométrie sous-riemannienne, théorie du contrôle, robotique, Paris, France, June 30--July 1, 1992.. 144. Birkhäuser, Basel, 1996, p. 79–323.
Montgomery, R. A tour of sub-Riemannian geometries: their geodesics and applications. American Mathematical Society, 2006. ISBN 978-0821841655.
Rashevskii, P.K. «About connecting two points of complete non-holonomic space by admissible curve (in Russian)». Uch. Zapiski ped. inst. Libknexta, 2, 1938, p. 83–94.

[1] Bullo, Francesco; Lewis, Andrew D. Geometric Control of Mechanical Systems (en anglès). 1a edició. Nova York: Springer, 2005, p. 110. ISBN 978-1-4899-7276-7.

[1]