Espiral sinusoïdal

Espiral sinusoidal amb n=2,5 (línia contínua) i amb n=-2,5 línia de punts.

Espiral sinusoidal amb n=0,5 (línia contínua) i amb n=-0,5 línia de punts.

Espiral sinusoidal amb n=3 (línia contínua) i amb n=-3 línia de punts.

En geometria, les espirals sinusoïdals són una família de corbes definides per l'equació en coordenades polars

$r^n = a^n \cos(n \theta)\,$

on a és una constant diferent de zero i n és un nombre racional diferent de 0. Amb una rotació entorn a l'origen, també es pot escriure

$r^n = a^n \sin(n \theta).\,$

El terme "espiral" és enganyós, perquè no són de fet espirals, i sovint tenen una forma similar a una flor. Moltes corbes conegudes són espirals sinusoïdals incloent-hi:

• Recta ( n = −1)
• Circumferència (n = 1)
• Hipèrbola equilàtera ( n = −2)
• Paràbola (n = −1/2)
• Cardioide (n = 1/2)
• Lemniscata De Bernoulli (n = 2)
• Tschirnhausen cúbic (n = −1/3)

Aquestes corbes varen ser estudiades per primera vagada per Colin Maclaurin.

Equacions

Derivant

$r^n = a^n \cos(n \theta)\,$

i eliminant a s'obté una equació diferencial en r i θ:

$\frac{dr}{d\theta}\cos n\theta + r\sin n\theta =0$.

Llavors

$\left(\frac{dr}{ds},\ r\frac{d\theta}{ds}\right)\cos n\theta \frac{ds}{d\theta} = \left(-r\sin n\theta ,\ r \cos n\theta \right) = r\left(-\sin n\theta ,\ \cos n\theta \right)$

que implica que l'angle tangencial polar és

$\psi = n\theta \pm \pi/2$

i així l'angle tangencial és

$\varphi = (n+1)\theta \pm \pi/2$.

(Aquí el signe és positiu si $r$ i $\cos n\theta$ tenen el mateix signe i negatiu altrament.)

El vector unitari tangent

$\left(\frac{dr}{ds},\ r\frac{d\theta}{ds}\right)$,

té longitud u, per tant comparant la magnitud dels vectors a cada costat de l'equació de dalt dóna

$\frac{ds}{d\theta} = r \cos^{-1} n\theta = a \cos^{-1+\tfrac{1}{n}} n\theta$.

En particular, la llargada d'un bucle únic quan $n>0$ és:

$a\int_{-\tfrac{\pi}{2n}}^{\tfrac{\pi}{2n}} \cos^{-1+\tfrac{1}{n}} n\theta\ d\theta$

La curvatura ve donada per

$\frac{d\varphi}{ds} = (n+1)\frac{d\theta}{ds} = \frac{n+1}{a} \cos^{1-\tfrac{1}{n}} n\theta$.

Propietats

La corba inversa d'una espiral sinusoïdal respecte a un circumferència amb centre a l'origen és una altra espiral sinusoïdal el valor de n de la qual és el negatiu del valor n de la corba original. Per exemple, l'inversa de la lemniscata de Bernoulli és una hipèrbole.

L'isoptica, la podaria i la podaria negativa d'una espiral sinusoïdal són espirals sinusoïdals diferents.

El camí que segueix una partícula sotmesa a una força central proporcional a una potència de r és una espiral sinusoïdal.

Quan n és un enter, i es tracen n punts a intervals regulars sobre una circumferència de radi a, llavors el conjunt de punts tals que la mitjana geomètrica de les distàncies del punt fins als n punts sigui 1 és una espiral sinusoïdal. En aquest cas l'espiral sinusoïdal és una lemniscata polinòmica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Espiral sinusoïdal

Referències

• Yates, R. C.: A Handbook on Curves and Their Properties, J. W. Edwards (1952), "Spiral" p. 213–214
• "Sinusoidal spiral" a www.2dcurves.com
• "Sinusoidal Spirals" a The MacTutor History of Mathematics
• "Spirale Sinusoïdale" a Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
• Weisstein, Eric W., "Sinusoidal Spiral" a MathWorld (en anglès).