Estructura matemàtica

Imatge d'una estructura bàsica matemàtica.

L'estructura matemàtica és un conjunt, o de manera més general, un tipus, que consta d'objectes matemàtics que d'alguna manera s'adjunten o relacionen amb el conjunt, facilitant-ne la seva visualització o estudi, fornint significat a la col·lecció.

Una llista parcial de possibles estructures són:

• Mesures.
• Estructures algebraiques: grups, anells, camps, etc.
• Topologies
• Espais mètrics (geometries)
• Ordres
• Relacions d'equivalència
• categories
• Nombres

De vegades, un conjunt adquireix més d'una estructura de forma simultània, cosa que permet estudiar-lo d'una forma millor. Per exemple, un ordre indueix una topologia.

Exemple: els nombres reals

El conjunt de nombres reals té diverses estructures estàndard:

• ordre: tot nombre és menor o major que qualsevol altre nombre.
• estructura algebraica: les operacions de multiplicació i divisió fan del conjunt un camp.
• mesura: els intervals de la recta real tenen longitud específica, que es pot estendre a una mesura de Lebesgue en molts dels seus subconjunts.
• mètrica: existeix la noció de mètrica o distància entre punts.
• topologia: existeix la noció de conjunt obert.

Existeixen relacions entre elles:

• L'ordre i, de forma independent, l'estructura mètrica, indueixen la seva topologia.
• L'ordre i la seva estructura algebraica el converteixen en un camp ordenat.
• La seva estructura algebraica i la seva topologia el converteixen en un grup de Lie, una espècie de grup topològic.

Referències

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Estructura matemàtica

• Structure a PlanetMath (proporciona un model de definició teòrica.)
• D.S. Malik and M. K. Sen (2004) Discrete mathematical structures: theory and applications, ISBN 978-0-619-21558-3.
• M. Senechal (1993) "Mathematical Structures", Science 260:1170–3.
• Bernard Kolman, Robert C. Ross, and Sharon Cutler (2004) Discrete mathematical Structures, ISBN 978-0-13-083143-9.
• Stephen John Hegedes and Luis Moreno-Armella (2011)"The emergence of mathematical structures", Educational Studies in Mathematics 77(2):369–88.
• Journal: Mathematical structures in computer science, Cambridge University Press ISSN 0960-1295.