Fórmula baromètrica

La Fórmula baromètrica o Fórmula de l'anivellament baromètric descriu el repartiment vertical de les molècules de gas a l'atmosfera terrestre i per tant la variació de la pressió en funció de l'altitud.

Es parla així d'un gradient de pressió vertical, però que només a base d'aproximacions es pot descriure matemàticament per la raó de la dinàmica del clima en l'atmosfera inferior. En una primera aproximació es pot suposar que a nivell del mar la pressió disminueix un hectopascal quan l'altitud augmenta de 8 metres.

Equació hidrostàtica

Volum elemental, notacions i forces aplicades

La variació de la pressió i de la massa volúmica de l'aire dins l'atmosfera es descriu per l'equació hidrostàtica. Per establir-la, considerarem un volum elemental de superfície de base A i d'alçada infinitesimal dh, contenint l'aire de massa volúmica ρ. El pes de P d'aquest volum d'aire es dóna per $\mathrm{d}\vec P = \mathrm{d}m\cdot \vec g = -\rho\cdot \mathrm{d}V\cdot g \cdot \vec z = -\rho\cdot A\cdot\mathrm{d}h\cdot g \cdot \vec z$. Sota del volum s'exerceix una força cap amunt $p\cdot A \cdot \vec z$ deguda a la pressió atmosfèrica p. La força exercida cap avall per la pressió atmosfèrica a la part superior del volum és $-(p+\mathrm{d}p)\cdot A \cdot \vec z$. No cal considerar les forces de pressió que s'exerceixen sobre els costats del volum elemental, car elles s'equilibren.

A l'equilibri hidrostàtic, la suma vectorial de les forces que s'exerceixen sobre el volum elemental és nul·la:

$p\cdot A - \rho\cdot g\cdot \mathrm{d}h\cdot A -(p+\mathrm{d}p)\cdot A = 0$

si $(p+\mathrm{d}p) -p = -\rho\cdot g\cdot \mathrm{d}h$.

S'obté la relació : $\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}h}=-\rho\cdot g$.

Per la llei dels gasos perfectes, la massa volúmica de l'aire s'escriu : $\rho = \frac{pM}{RT}$. Així :

$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}h} = - \frac{p M g}{R T}$

M és la massa molar mitjana del gas de l'atmosfera (0,02896 kg•mol⁻¹), g és l'acceleració de la gravetat (9,807 m•s⁻²), R és la constant universal dels gasos perfectes (8,314 J•K⁻¹•mol⁻¹) i T és laemperatura absoluta.

L'equació hidrostàtica descriu amb quina quantitat de p la pressió atmosfèrica varia per a una petita variació de h de l'altitud. Com mostra la presència del signe menys, de p és negativa quan de h és positiu : la pressió disminueix quan l'altitud augmenta. Per exemple, a una pressió mitjana de p = 1013 hPa al nivell del mar i per a una temperatura de 288 K (15°C), la pressió disminueix en 0,12 hPa quan l'altitud augmenta 1 m, i de 1 hPa quan l'altitude augmenta 8,3 m. Es diu nivell baromètric a la diferència d'altitud per la qual la diferència de pressió és d'1 hPa. Per altituds i temperatures més altes, la pressió varia més lentament i augmenta el nivell baromètric.

En general, es vol obtenir valors explícits per la pressió o la densitat com una funció de l'altitud. Es poden obtenir les fluctuacions de pressió per variacions de l'altura de grans dimensions utilitzant el mètode de separació de les variables: $\frac{\mathrm{d}p}{p} = -\frac{M g}{R T}\mathrm{d}h$ integrant l'equació baromètrica: $\int_{p(h_0)}^{p(h_1)} \frac{\mathrm{d}p}{p} = -\int_{h_0}^{h_1}\frac{M g}{R T} \, \mathrm{d}h$.

La integració de l'esquerra dóna $\ln\left(\frac{p(h_1)}{p(h_0)}\right)$. Per integrar el costat dret, hem de conèixer la dependència de l'altitud de T i g. L'acceleració de la gravetat es pot considerar constant per altures raonables. En contrast, T varia de manera complexa i impredictible depenent de l'altitud. Per tant, cal fer hipòtesis simplificadores sobre l'evolució de T, basada en l'altitud h.

Atmosfera isoterma

La fórmula de l'anivellament baromètric per l'atmosfera isoterma és la hipòtesi més sovint citada. La temperatura T és uniforme sigui quina sigui l'altitud.

Establiment de l'equació baromètrica

Per a T constant, la integració de l'equació baromètica dóna :

	$\int_{p(h_0)}^{p(h_1)} \frac{\mathrm{d}p}{p} = - \frac{M g}{R T} \, \int_{h_0}^{h_1} \mathrm{d}h$
$\Leftrightarrow$	$\ln\left(\frac{p(h_1)}{p(h_0)}\right) = - \frac{M g}{R T} (h_1 - h_0) = - \frac{M g}{R T} \Delta h$
$\Leftrightarrow$	$\frac{p(h_1)}{p(h_0)} = e^{- \frac{M g}{R T} \Delta h}$
$\Leftrightarrow$	$p(h_1) = p(h_0) e^{- \frac{M g}{R T} \Delta h}$

Introduint l'altitud caracteística $h_s = \frac{RT}{Mg}$, es simplifica l'equació en :

$p(h_1) = p(h_0) e^{-\frac{\Delta h}{h_s}}$

A cada augment de l'altitud de h_s, la pressió disminueix d'un factor $e\approx 2,72$. L'altitud característica és així in mesurament natural de l'altitud de l'atmosfera i de la evolució de la pressió dins d'ella. Per aquest model d'atmosfera, val al voltant 8,4 km per T = 15°C.

La massa volúmic s'expressa de manera similar :

$\rho(h_1) = \rho(h_0) e^{-\frac{\Delta h}{h_s}}$

Taula del nivell d'anivellament baromètric

	Nivell d'anivellament baromètric[m/hPa]
h	−15 °C	0 °C	15 °C	30 °C
0 m	7,5	7,9	8,3	8,8
500 m	7,9	8,3	8,7	9,2
1000 m	8,3	8,7	9,2	9,6
2000 m	9,3	9,7	10,1	10,6
3000 m	10,4	10,8	11,2	11,6

Per altituds i temperatures mitjanes , sovint s'utilitza la fórmula « 1 hPa / 30ft ». Aquesta aproximació sovint s'utilitza pels pilots d'avions per a càlculs mentals ràpids.

Fórmula internacional de l'anivellament baromètric

Prenent el nivell del mar com a altitud de referència h₀, i considerant per l'amosfera un estat mitjà definit per l'Atmosfera normalitzada tipus OACI (Temperatura 15°C = 288,15 K, pressió 1013,25 hPa, gradient vertical de temperatura 0,65 K per 100 m), s'obté la fórmula internacional d'anivellament baromètric :

$p(h) = 1013{,}25 \left( 1 - \frac{0{,}0065 \cdot h}{288{,}15} \right)^{5{,}255} \mathrm{hPa}$

Aquesta fórmula permet el càlcul de la pressió a una certa altitud, sense haver de conéixer la temperatura o el gradient vertical de temperatura. Tanmateix la seva precisió és limitada.