Fórmula baromètrica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La Fórmula baromètrica o Fórmula de l'anivellament baromètric descriu el repartiment vertical de les molècules de gas a l'atmosfera terrestre i per tant la variació de la pressió en funció de l'altitud.

Es parla així d'un gradient de pressió vertical, però que només a base d'aproximacions es pot descriure matemàticament per la raó de la dinàmica del clima en l'atmosfera inferior. En una primera aproximació es pot suposar que a nivell del mar la pressió disminueix un hectopascal quan l'altitud augmenta de 8 metres.

Equació hidrostàtica[modifica | modifica el codi]

Volum elemental, notacions i forces aplicades

La variació de la pressió i de la massa volúmica de l'aire dins l'atmosfera es descriu per l'equació hidrostàtica. Per establir-la, considerarem un volum elemental de superfície de base A i d'alçada infinitesimal dh, contenint l'aire de massa volúmica ρ. El pes de P d'aquest volum d'aire es dóna per \mathrm{d}\vec P = \mathrm{d}m\cdot \vec g = -\rho\cdot \mathrm{d}V\cdot g \cdot \vec z = -\rho\cdot A\cdot\mathrm{d}h\cdot g \cdot \vec z. Sota del volum s'exerceix una força cap amunt p\cdot A \cdot \vec z deguda a la pressió atmosfèrica p. La força exercida cap avall per la pressió atmosfèrica a la part superior del volum és -(p+\mathrm{d}p)\cdot A \cdot \vec z. No cal considerar les forces de pressió que s'exerceixen sobre els costats del volum elemental, car elles s'equilibren.

A l'equilibri hidrostàtic, la suma vectorial de les forces que s'exerceixen sobre el volum elemental és nul·la:

p\cdot A - \rho\cdot g\cdot \mathrm{d}h\cdot A -(p+\mathrm{d}p)\cdot A = 0

si (p+\mathrm{d}p) -p = -\rho\cdot g\cdot \mathrm{d}h.

S'obté la relació : \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}h}=-\rho\cdot g.

Per la llei dels gasos perfectes, la massa volúmica de l'aire s'escriu : \rho = \frac{pM}{RT}. Així :

   
\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}h} = - \frac{p M g}{R T}

M és la massa molar mitjana del gas de l'atmosfera (0,02896 kg•mol−1), g és l'acceleració de la gravetat (9,807 m•s−2), R és la constant universal dels gasos perfectes (8,314 J•K−1•mol−1) i T és laemperatura absoluta.


L'equació hidrostàtica descriu amb quina quantitat de p la pressió atmosfèrica varia per a una petita variació de h de l'altitud. Com mostra la presència del signe menys, de p és negativa quan de h és positiu : la pressió disminueix quan l'altitud augmenta. Per exemple, a una pressió mitjana de p = 1013 hPa al nivell del mar i per a una temperatura de 288 K (15 °C), la pressió disminueix en 0,12 hPa quan l'altitud augmenta 1 m, i d'1 hPa quan l'altitude augmenta 8,3 m. Es diu nivell baromètric a la diferència d'altitud per la qual la diferència de pressió és d'1 hPa. Per altituds i temperatures més altes, la pressió varia més lentament i augmenta el nivell baromètric.

En general, es vol obtenir valors explícits per la pressió o la densitat com una funció de l'altitud. Es poden obtenir les fluctuacions de pressió per variacions de l'altura de grans dimensions utilitzant el mètode de separació de les variables: \frac{\mathrm{d}p}{p} = -\frac{M g}{R T}\mathrm{d}h integrant l'equació baromètrica: \int_{p(h_0)}^{p(h_1)} \frac{\mathrm{d}p}{p} = -\int_{h_0}^{h_1}\frac{M g}{R T} \, \mathrm{d}h.


La integració de l'esquerra dóna \ln\left(\frac{p(h_1)}{p(h_0)}\right). Per integrar el costat dret, hem de conèixer la dependència de l'altitud de T i g. L'acceleració de la gravetat es pot considerar constant per altures raonables. En contrast, T varia de manera complexa i impredictible depenent de l'altitud. Per tant, cal fer hipòtesis simplificadores sobre l'evolució de T, basada en l'altitud h.


Atmosfera isoterma[modifica | modifica el codi]

La fórmula de l'anivellament baromètric per l'atmosfera isoterma és la hipòtesi més sovint citada. La temperatura T és uniforme sigui quina sigui l'altitud.

Establiment de l'equació baromètrica[modifica | modifica el codi]

Per a T constant, la integració de l'equació baromètica dóna :

\int_{p(h_0)}^{p(h_1)} \frac{\mathrm{d}p}{p} = - \frac{M g}{R T} \, \int_{h_0}^{h_1} \mathrm{d}h
\Leftrightarrow \ln\left(\frac{p(h_1)}{p(h_0)}\right) = - \frac{M g}{R T} (h_1 - h_0) =  - \frac{M g}{R T} \Delta h
\Leftrightarrow \frac{p(h_1)}{p(h_0)} = e^{- \frac{M g}{R T} \Delta h}
\Leftrightarrow p(h_1) = p(h_0) e^{- \frac{M g}{R T} \Delta h}

Introduint l'altitud caracteística h_s = \frac{RT}{Mg}, se simplifica l'equació en :

   
 p(h_1) = p(h_0) e^{-\frac{\Delta h}{h_s}}

A cada augment de l'altitud de hs, la pressió disminueix d'un factor e\approx 2,72. L'altitud característica és així in mesurament natural de l'altitud de l'atmosfera i de l'evolució de la pressió dins d'ella. Per aquest model d'atmosfera, val al voltant 8,4 km per T = 15 °C.

La massa volúmic s'expressa de manera similar :

   
 \rho(h_1) = \rho(h_0) e^{-\frac{\Delta h}{h_s}}


Taula del nivell d'anivellament baromètric[modifica | modifica el codi]

  Nivell d'anivellament baromètric[m/hPa]
h −15 °C 0 °C 15 °C 30 °C
0 m 7,5 7,9 8,3 8,8
500 m 7,9 8,3 8,7 9,2
1000 m 8,3 8,7 9,2 9,6
2000 m 9,3 9,7 10,1 10,6
3000 m 10,4 10,8 11,2 11,6

Per altituds i temperatures mitjanes, sovint s'utilitza la fórmula «1 hPa / 30ft». Aquesta aproximació sovint és utilitzada pels pilots d'avions per a càlculs mentals ràpids.

Fórmula internacional de l'anivellament baromètric[modifica | modifica el codi]

Prenent el nivell del mar com a altitud de referència h0, i considerant per l'amosfera un estat mitjà definit per l'Atmosfera normalitzada tipus OACI (Temperatura 15 °C = 288,15 K, pressió 1013,25 hPa, gradient vertical de temperatura 0,65 K per 100 m), s'obté la fórmula internacional d'anivellament baromètric :

p(h) = 1013{,}25 \left( 1 - \frac{0{,}0065 \cdot h}{288{,}15} \right)^{5{,}255} \mathrm{hPa}

Aquesta fórmula permet el càlcul de la pressió a una certa altitud, sense haver de conèixer la temperatura o el gradient vertical de temperatura. Tanmateix la seva precisió és limitada.