Fórmula de Brahmagupta

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En geometria, la fórmula Brahmagupta troba l'àrea de qualsevol quadrilàter donades les longituds dels costats i alguns dels angles. En la seva forma més comuna, s'obté l'àrea dels quadrilàters que es puguin inscriure en un cercle.

Forma Bàsica[modifica | modifica el codi]

En la seva forma més bàsica i més fàcil de recordar, la fórmula Brahmagupta dóna l'àrea d'un quadrilàter amb costats de longituds a , b , c , d , sempre que el quadrilàter sigui cíclic (els seus quatre vèrtexs estiguin sobre una mateixa circumferència):

 Area = \sqrt{(s-a) (s-b) (s-c) (s-d)}

on s , és el semiperímetre, així:

 S = \frac{a+b+c+d}{2}\cdot
 S-a = \frac{-a+b+c+d}{2}
 S-b = \frac{a-b+c+d}{2}
 S-c = \frac{a+b-c+d}{2}
 S-d = \frac{a+b+c-d}{2}

Aquesta fórmula generalitza la fórmula d'Heró per a l'àrea d'un triangle. De fet, la fórmula d'Heró poden derivar de la fórmula de Brahmagupta al permetre acostar-se a un valor de zero. Un triangle pot ser considerat com un quadrilàter amb un costat de longitud zero. Des d'aquesta perspectiva, com d tendeix a zero, un quadrilàter cíclic convergeix en un triangle cíclic (tots els triangles són cíclics), i la fórmula de Brahmagupta convergeix en la fórmula d'Heró.

L'afirmació que l'àrea del quadrilàter és donada per la fórmula de Brahmagupta és equivalent a l'afirmació que és igual a

 \frac{\sqrt{(a^2 +b^2 +c^2 +d^2)^2 -8abcd-2 (a^4 +b^4+ c^4 +d^4)}}{4}\cdot

fórmula de Brahmagupta pot ser vista com una fórmula de mediació longitud dels costats, sinó que també dóna a la zona com una fórmula en l'altura des del centre cap als costats, encara que si el quadrilàter no conté el centre, l'altitud al costat més llarg ha de ser presa com a negativa.

La prova de la fórmula de Brahmagupta[modifica | modifica el codi]

Referències del Diagrama

Àrea de la Zona quadrilàter cíclic = Àrea de  \triangle ADB Àrea de  \triangle BDC

 = \frac{1}{2}pq \sin A \frac{1}{2}rs \sin C.

Però des  ABCD és un quadrilàter cíclic,  \angle DAB = 180^\circ - \angle DCB. Per tant,  \sin A = \sin C. Per Tant

 \mbox{Àrea}= \frac{1}{2}pq \sin A \frac{1}{2}rs \sin A
 (\mbox{Àrea})^2 = \frac{1}{4}\sin^2 A (pq rs)^2
 4 (\mbox{Àrea})^2 = (1 - \cos^2 A) (pq rs)^2 \,
 4 (\mbox{Àrea})^2 = (pq rs)^2 - \cos^2 A (pq rs)^2. \,

Aplicant el teorema del cosinus per  \triangle ADB i  \triangle BDC i igualant les expressions per al costat  DB, , tenim

 P^2 q^2 - 2pq \cos A = r^2 s^2 - 2rs \cos C. \,

Substituint  \cos C = - \cos A \, (ja que els angles són complementaris) i reordenant, hem de

 2 \cos A (pq rs) = p^2 q^2 - r^2 - s^2. \,

Substituint aquesta expressió en l'equació per a l'àrea,

 4 (\mbox{Àrea})^2 = (pq rs)^2 - \frac{1}{4}(p^2 q^2 - r^2 - s^2)^2
 16 (\mbox{Àrea})^2 = 4 (pq rs)^2 - (p^2 q^2 - r^2 - s^2)^2, \,

que és de la forma  a^2-b^2 i per tant es pot escriure en la forma  (ab) (ab) com,

 (2 (pq rs) p^2 q^2-r^2 - s^2) (2 (pq rs) - p^2 - q^2 r^2 s^2) \,
 = ((Pq)^2 - (rs)^2) ((rs)^2 - (pq)^2) \,
 = (P q r-s) (p i q s-r) (p r s-q) (q r s-p). \,

Introduint  S = \frac{PQRS}{2},

 16 (\mbox{Àrea})^2 = 16 (Sp) (Sq) (Sr) (Ss). \,

Prenent l'arrel quadrada, obtenim

 \mbox{Àrea}= \sqrt{(Sp) (Sq) (Sr) (Ss )}.

Extensió als Quadrilàters no cíclics[modifica | modifica el codi]

En el cas dels quadrilàters cíclics no, la fórmula de Brahmagupta pot estendre's en considerar les mesures de dos angles oposats del quadrilàter

 \sqrt{(s-a) (s-b) (s-c) (s-d)-abcd \cos^2 \theta}

on θ és la meitat de la suma de dos angles oposats. (La parella és irrellevant: si es donen els altres dos angles, la meitat de la seva suma és el suplement de θ. Com que cos (180 ° - θ) =-cosq, tenim cos 2 (180 ° - θ) = cos 2 θ.) Es desprèn d'això que l'àrea d'un quadrilàter cíclic és l'àrea màxima possible per a qualsevol quadrilàter per unes longituds de costats donades.

Aquesta fórmula general es coneix de vegades com la fórmula de Bretschneider, però d'acord amb MathWorld aquesta forma es deu, sembla, a Coolidge, l'expressió de Bretschneider va ser

 \sqrt{(s-a) (s-b) (s-c) (s-d) - \textstyle{1 \over4}(ac +bd+ pq) (ac+ bd-pq)}\,

on p i q són les longituds de les diagonals del quadrilàter. Aquesta fórmula també demostra el teorema de Ptolemeu generalitzat.

És una característica dels quadrilàters cíclics (i en última instància, d'angles inscrits) que els angles oposats d'un quadrilàter sumen 180 °. En conseqüència, en el cas d'un quadrilàter inscrit, θ = 90 °, on el terme

 Abcd \cos^2 \theta = abcd \cos^2 \left (90^\circ \right) = abcd \cdot0 = 0, \,

donant la forma bàsica de la fórmula de Brahmagupta.

Teoremes Relacionats[modifica | modifica el codi]

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]