Fórmula de De Moivre

La fórmula de de Moivre, presentada per Abraham de Moivre el 1707, afirma que:

Per tot x pertanyent a R i per tot n pertanyent a Z,

$\forall{x}{\in}\mathbb{R} \and \forall{n}{\in}\mathbb{Z}\; (\cos{x}+\mathrm{i}\sin{x})^n = \cos(nx) + \mathrm{i}\sin(nx)$

Cal tenir en compte que l'expressió "cos x + i sin x a vegades s'abrevia com "cis x".

Aquesta fórmula és important perquè connecta els nombres imaginaris (la lletra i representa la unitat imaginària) amb la trigonometria, cosa molt útil, per exemple, en la representació gràfica dels nombres complexos (a saber, reals i imaginaris).

La fórmula de De Moivre pot ser obtinguda de la fórmula d'Euler:

$e^{ix} = \cos x + \mathrm{i}\,\sin x$

La fórmula de Moivre treballa amb la representació trigonomètrica d'un nombre complex, que és:

$r(\cos x + \mathrm{i}\,\sin x)$

si es té en compte una altra forma de representació dels nombres imaginaris, més intuïtiva, anomenada forma polar, que permet una visualització més ràpida de la naturalesa del nombre en qüestió:

$r_{\alpha}$

on $r$ és la llargada o mòdul del vector que uneix l'origen de coordenades amb la representació gràfica del nombre complex, i ${\alpha}$ l'angle que té aquest vector respecte l'eix OX.