Fórmula de De Moivre

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques la fórmula de De Moivre, anomenada així per Abraham de Moivre, afirma que, per a tot nombre real x i tot enter n,

(\cos{x}+\mathrm{i}\sin{x})^n = \cos(nx) + \mathrm{i}\sin(nx)

Aquesta fórmula és important perquè connecta els nombres complexos (la lletra {i} representa la unitat imaginària) amb la trigonometria, cosa molt útil, per exemple, en la representació gràfica dels nombres complexos.

La fórmula de De Moivre pot ser obtinguda de la fórmula d'Euler:

e^{ix} = \cos x + \mathrm{i}\,\sin x

La fórmula de Moivre treballa amb la representació trigonomètrica d'un nombre complex, que és:

r(\cos x + \mathrm{i}\,\sin x)

si es té en compte una altra forma de representació dels nombres imaginaris, més intuïtiva, anomenada forma polar, que permet una visualització més ràpida de la naturalesa del nombre en qüestió:

r_{\alpha}

on r és la llargada o mòdul del vector que uneix l'origen de coordenades amb la representació gràfica del nombre complex, i {\alpha} l'angle que té aquest vector respecte l'eix OX.