Fórmula del Haversine

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Sinus, cosinus, i versinus de θ en base a la circumferència goniomètrica

La fórmula del haversine és una important equació per la navegació astronòmica, pel que fa al càlcul distància de cercle màxim entre dos punts d'un globus sabent les seves longitud i latitud. És un cas especial d'una fórmula més general de trigonometria esfèrica, la llei del haversine, sobre els costats i angles d'un "triangle esfèric".[1]

Aquests noms es deriven del fet que s'acostuma a expressar-se en termes de la funció haversine, donada pel haversin (θ) = sin 2 (θ/2). Les fórmules també podrien estar escrites en termes de qualsevol múltiple del haversine, com l'antiga funció versinus (el doble del haversine).

Històricament, el haversine va tenir, potser, un lleuger avantatge, ja que el seu màxim és "1", de manera que les taules logarítmiques dels seus valors podien acabar amb el valor zero. Avui dia, la forma del haversine també és interessant, ja que no té cap coeficient davant de la funció sinus 2.

Fórmula del haversine[modifica | modifica el codi]

Per a qualsevol parell de punts sobre una esfera:

\operatorname{haversin}\left(\frac{d}{R}\right) = \operatorname{haversin}(\varphi_1 - \varphi_2) + \cos(\varphi_1) \cos(\varphi_2)\,\operatorname{haversin}(\Delta\lambda).

on

Triangle esfèric resolt per la fórmula del haversine.
  • haversin és la funció haversine,haversin(θ) = sin2(θ/2) = (1−cos(θ))/2
  • d és la distància entre els dos punts (al llarg d'un cercle màxim de l'esfera, vegeu distància esfèrica),
  • R és el radi de l'esfera,
  • φ 1 és la latitud del punt 1,
  • φ 2 és la latitud del punt 2, i
  • Δ λ és la diferència de longitud,

Tingueu en compte que l'argument a la funció haversine Aquí se suposa que ha de donar-se en radians. En graus, haversin(d/R) de la fórmula es convertiria en haversin (180 · dR ).

Llavors es pot resoldre per d ja sigui mitjançant la simple aplicació de la haversine inversa (si està disponible) o mitjançant l'ús de l'arcsinus (arcsinus) funció:

d = R \, \operatorname{haversin}^{-1}(h) = 2 R \arcsin\left(\sqrt{h}\,\right).

on

  • h és haversin(d/R)

En l'època anterior a la calculadora digital, l'ús detallat de quadres impresos per a la haversine/invers haversine i el seu logaritme (per ajudar en les multiplicacions) va estalviar als navegants calcular els quadrats dels sinus, el càlcul d'arrels quadrades, etc ., un procés ardu i que puguin agreujar els petits errors (vegeu també versinus).

En utilitzar aquestes fórmules, s'ha de tenir cura per assegurar-se que h no excedeixi 1 a causa d'un error de coma flotant (d és només real per h de 0 a 1). h només s'aproxima a 1 als punts antipodals (en els costats oposats de l'esfera) - en aquesta regió, errors numèrics relativament grans tendeixen a sorgir en la fórmula quan s'utilitza una precisió finita. No obstant això, ja que d llavors és bastant gran (s'acosta a π ·R, la meitat de la circumferència) un petit error sovint no és una preocupació important en aquest cas inusual (encara que hi ha altres fórmules distància de cercle màxim que eviten aquest problema). (La fórmula anterior s'escriu de vegades en termes de la funció arctangent, però aquesta pateix de problemes numèrics similars a prop de h = 1.)

Com es descriu a continuació, en lloc de haversines, també es pot escriure una fórmula similar, en termes dels cosinus -a vegades anomenada la llei esfèrica del cosinus-, (que cal no confondre amb la llei del cosinus per a la geometria plana), però per un cas comú de distàncies/angles petits... un petit error en les dades d'entrada de la funció "arccos" porta a un gran error en el resultat final. Això fa que la fórmula no sigui apta per a ús general.

Aquesta fórmula és només una aproximació quan s'aplica a la Terra, perquè la Terra no és una esfera perfecta: el radi de la Terra R varia de 6.356,78 quilòmetres en els pols fins a 6.378,14 quilòmetres a l'equador. Hi ha petites correccions, típicament de l'ordre de 0,1% (suposant la mitjana geomètrica R = 6367,45 quilòmetres que s'utilitza a tot arreu, per exemple), a causa d'aquesta lleugera forma el·liptica del planeta.

Un altre mètode més precís, que té en compte la forma el·líptica de la Terra, ve donada per les fórmules de Vincenty.

Llei del haversine[modifica | modifica el codi]

Donada una esfera unitària, un "triangle" a la superfície de l'esfera es defineix pel gran cercle s de connectar tres punts o, v i w en l'esfera. Si les longituds d'aquestes tres parts estan al (de u v per v), b (des o a w), i c (a partir de W a), i l'angle de la cantonada oposada c és C, llavors la llei del haversine diu:

(la llei del haversine)
\operatorname{haversin}(c) = \operatorname{haversin}(a - b) + \sin(a) \sin(b) \, \operatorname{haversin}(C).

Com es tracta d'una esfera unitat, les longituds a, b i c són simplement iguals als angles (en radians) sostingudes pels costats del centre de l'esfera (per a un no esfera-unitat, cadascuna d'aquestes longituds d'arc és igual al seu angle central multiplicat pel radi de l'esfera).

Per tal d'obtenir la fórmula del haversine de la secció anterior d'aquesta llei, simplement es considera el cas especial on o és el pol nord, mentre que w v i són els dos punts la separació d es va a determinar. En aquest cas, un i b són π/2 - φ 1,2 (és a dir, 90 ° - latitud), C és el Δλ longitud de separació, i c és la desitjada d / R . Prenent nota que el sin ( π /2 - φ ) = cos ( φ ), la fórmula haversine segueix immediatament.

Per deduir la llei del haversine, es parteix de la llei esfèrica de cosinus:

(teorema esfèric del cosinus)
\cos(c) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b) \cos(C). \,

Com s'ha esmentat anteriorment, aquesta fórmula no és massa bona per la resolució de c quan c és petit. En el seu lloc, substituïm la identitat tal que: cos(θ) = 1 − 2 haversin(θ), i també emprem la identitat de suma cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b), per obtenir la llei del haversine de més amunt.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. José de Mendoza y Ríos. Memoria sobre algunos metodos nuevos de calcular la longitud por las distancias lunares y explicaciones prácticas de una teoría para la solución de otros problemas de navegación. Imp. Real, 1795 [Consulta: 30 gener 2013]. 

Scibor * Ireneu Romualdo '-Marchocki, [] http://web.archive.org/19991010004728/www.geocities.com/ResearchTriangle/2363/trig02.html trigonometria esfèrica, Primària-Geometria Trigonometria pàgina web (1997).

  • Gellert W., S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner i Küstner H., L'Enciclopèdia Concisa de les Matemàtiques VNR , 2 ª ed., Cap. 12 (altres unitats: New York, 1989).
  • Diccionari Anglès d'Oxford. Oxford University Press. 2 ª ed. 1989. Cites encunyació del terme "Haversine" pel Prof Jas. Inman, DD, si navegació i astronomia nàutica, 3 ª ed. (1835).

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]