Factor d'escala

Els factors d'escala d'un sistema de coordenades ortogonals sobre l'espai euclidià són les funcions que caracteritzen el tensor mètric expressat en aquestes coordenades.

Introducció

Les línies coordenades d'un sistema de coordenades en l'espai euclidià tridimensional són aquelles que s'obtenen partint d'un punt donat, de coordenades $(q_1, q_2, q_3) \,$, variant de elles i mantenint fixes les altres dues. Un sistema de coordenades es diu ortogonal si les línies coordenades són ortogonals en cada punt. Les coordenades cartesianes, les cilíndriques i les esfèriques, són exemples de coordenades ortogonals.

Donat un conjunt de coordenades sobre l'espai euclidià les línies coordenades es tallen en angle recte, pot construir-se una base vectorial ortonormal en cada punt, a partir dels vectors tangents a cada línia coordenada. En l'obtenció d'aquests vectors es defineixen unes quantitats, anomenades factors d'escala , que apareixen freqüentment en les fórmules del càlcul vectorial. Prenent els vectors tangents a cada línia en un punt, obtenim tres vectors ortogonals entre si, però no necessàriament unitaris:

$\vec e_i = \frac{\partial \vec r}{\partial q_i}$

Per obtenir un sistema ortonormal, dividim cada vector pel seu mòdul

$h_i (q_1, q_2, q_3) = \|\vec e_i \|= \left \|\frac{\partial \vec r}{\partial q_i}\right \|$

Les quantitats $h_i \,$ són els anomenats factors d'escala . El seu nom prové de que donen la proporció entre el que varia una coordenada i el desplaçament que produeix aquesta variació. De fet el tensor mètric g _ij de l'espai euclidià expressat en aquest sistema de coordenades:

$[g_{ij}] = \begin{bmatrix} h_{1}^{2} & 0 & 0\\ 0 & h_{2}^{2} & 0\\ 0 & 0 & h_{3}^{2} \end{bmatrix}$

Cal recordar que l'espai euclidià, en el qual hi ha una funció per mesurar distàncies i longituds de corbes, té l'estructura de varietat de Riemann gràcies a l'existència d'aquest tensor mètric. Gràcies a aquesta relació entre els factors d'escala i el tensor mètric, aquestes magnituds apareixen en multitud d'expressions de càlcul vectorial. Així, un "desplaçament infinitesimal" s'escriu:

$d \vec r = h_1 \, dq_1 \, \hat{q}_1+h_2 \, dq_2 \, \hat{q}_2+h_3 \, dq_3 \, \hat{q}_3$

La 3-forma element de volum, a partir de la qual es construeix l'anomenat "element de volum diferencial" ve donat en coordenades curvilínies per:

$\begin{cases} \eta_V = (h_1\,h_2\,h_3)\ dq_1\land dq_2\land dq_3 \\ dV = (h_1\,h_2\,h_3)\ dq_1 dq_2 dq_3 \end{cases}$

També apareixen en les expressions en coordenades curvilínies de l'gradient, la divergència i el rotacional.

Coordenades esfèriques i cilíndriques

Aplicant el càlcul dels factors d'escala a les coordenades cartesianes s'obté:

$h_x = 1, \qquad h_y = 1, \qquad h_z = 1$

A coordenades cilíndriques:

$h_ \rho = 1 \qquad h_ \varphi = \rho \qquad h_z = 1$

i en coordenades esfèriques:

$h_r = 1, \qquad h_ \theta = r, \qquad h_ \varphi = r \,{\rm sin}\theta$