Factor d'escala

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Els factors d'escala d'un sistema de coordenades ortogonals sobre l'espai euclidià són les funcions que caracteritzen el tensor mètric expressat en aquestes coordenades.

Introducció[modifica | modifica el codi]

Les línies coordenades d'un sistema de coordenades en l'espai euclidià tridimensional són aquelles que s'obtenen partint d'un punt donat, de coordenades  (q_1, q_2, q_3) \, , variant d'aquestes i mantenint fixes les altres dues. Un sistema de coordenades es diu ortogonal si les línies coordenades són ortogonals en cada punt. Les coordenades cartesianes, les cilíndriques i les esfèriques, són exemples de coordenades ortogonals.

Donat un conjunt de coordenades sobre l'espai euclidià les línies coordenades es tallen en angle recte, pot construir-se una base vectorial ortonormal en cada punt, a partir dels vectors tangents a cada línia coordenada. En l'obtenció d'aquests vectors es defineixen unes quantitats, anomenades factors d'escala , que apareixen freqüentment en les fórmules del càlcul vectorial. Prenent els vectors tangents a cada línia en un punt, obtenim tres vectors ortogonals entre si, però no necessàriament unitaris:


 \vec e_i = \frac{\partial \vec r}{\partial q_i}

Per obtenir un sistema ortonormal, dividim cada vector pel seu mòdul


 h_i (q_1, q_2, q_3) = \|\vec e_i \|=
 \left \|\frac{\partial \vec r}{\partial q_i}\right \|

Les quantitats  h_i \, són els anomenats factors d'escala . El seu nom prové del fet que donen la proporció entre el que varia una coordenada i el desplaçament que produeix aquesta variació. De fet el tensor mètric g ij de l'espai euclidià expressat en aquest sistema de coordenades:


[g_{ij}] = \begin{bmatrix}
h_{1}^{2} & 0 & 0\\ 0 & h_{2}^{2} & 0\\ 0 & 0 & h_{3}^{2} \end{bmatrix}

Cal recordar que l'espai euclidià, en el qual hi ha una funció per mesurar distàncies i longituds de corbes, té l'estructura de varietat de Riemann gràcies a l'existència d'aquest tensor mètric. Gràcies a aquesta relació entre els factors d'escala i el tensor mètric, aquestes magnituds apareixen en multitud d'expressions de càlcul vectorial. Així, un "desplaçament infinitesimal" s'escriu:


 d \vec r = h_1 \, dq_1 \, \hat{q}_1+h_2 \, dq_2 \, \hat{q}_2+h_3 \, dq_3 \, \hat{q}_3

La 3-forma element de volum, a partir de la qual es construeix l'anomenat "element de volum diferencial" ve donat en coordenades curvilínies per:


\begin{cases}
\eta_V = (h_1\,h_2\,h_3)\ dq_1\land dq_2\land dq_3 \\
dV = (h_1\,h_2\,h_3)\ dq_1 dq_2 dq_3 \end{cases}

També apareixen en les expressions en coordenades curvilínies de l'gradient, la divergència i el rotacional.

Coordenades esfèriques i cilíndriques[modifica | modifica el codi]

Aplicant el càlcul dels factors d'escala a les coordenades cartesianes s'obté:


 h_x = 1, \qquad h_y = 1, \qquad h_z = 1

A coordenades cilíndriques:


 h_ \rho = 1 \qquad h_ \varphi = \rho \qquad h_z = 1

i en coordenades esfèriques:


 h_r = 1, \qquad h_ \theta = r, \qquad h_ \varphi = r \,{\rm sin}\theta