Factor d'integració

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, hom resol certes equacions diferencials ordinàries mitjançant un factor d'integració o factor integrand. El factor d'integració és sols una funció agafada de manera tal que permet resoldre l'equació desitjada.

Considerant una equació diferencial ordinària de la forma

y'+a(x)y = b(x)\quad\quad\quad (1)\,

on y=y(x) és una funció desconeguda de x, i a(x) i b(x) són funcions donades.

El factor d'integració funciona de manera que transforma la banda esquerra de l'equació en la forma de la derivada d'un producte.

Consident una funció M(x). Es multipliquen ambdues bandes de (1) per M(x):

M(x)y' + M(x)a(x)y = M(x)b(x)\quad\quad\quad (2)

Es vol que la banda esquerra quedi de la forma d'una derivada del producte. De fet, si s'assumeix això, la banda esquerra es pot reordenar com a

(M(x)y)' = M(x)b(x)\quad\quad\quad (3)\,

I això es pot integrar,

y(x) M (x) = \int\limits_{}^{}\! b(x) M(x)\,dx + C\,

on C és una constant (veure constant arbitrària d'integració). I ara es pot resoldre per y(x),

y(x) = \frac{\int\limits_{}^{}\! b(x) M(x)\, dx + C}{M(x)}\,

Tanmateix, per resoldre explícitament per y(x) es necessita trobar l'expressió de M(x). Es pot deduir de (2) que M(x) obeeix l'equació diferencial

M'(x)-a(x)M(x) = 0\quad\quad\quad (4)\,

Per aconseguir M(x), es divideixen les dues bandes per M(x):

\frac{M'(x)}{M(x)}-a(x) = 0\quad\quad\quad (5)\,

L'equació (5) ara és de la forma d'una derivada logarítmica. Resolent (5) s'obté

M(x)=e^{\int\limits_{}^{}\!a(x)\,dx}\,

Es pot veure que multiplicar per M(x) i la propietat M'(x) = a(x)M(x) són essencials per resoldre aquesta equació diferencial. M(x) s'anomena factor d'integració. El nom prové del fet que és una integral, i es comporta com un múltiple de l'equació (d'aquí el factor).

Exemple[modifica | modifica el codi]

Donada l'equació diferencial

y'-\frac{2y}{x} = 0

Es pot observar que en aquest cas a(x) = \frac{-2}{x}

M(x)=e^{\int\limits_{}^{}\!a(x)\,dx}
M(x)=e^{\int\limits_{}^{}\!\frac{-2}{x}\,dx}
M(x)=\frac{1}{x^2}

Multiplicant ambdues bandes per M(x) s'obté

\frac{y'}{x^2} - \frac{2y}{x^3} = 0
\left(\frac{y}{x^2}\right)' = 0

o bé

\frac{y}{x^2} = C

que dóna

y(x) = Cx^2\,

Vegeu també[modifica | modifica el codi]