Factor d'integració

En matemàtiques, hom resol certes equacions diferencials ordinàries mitjançant un factor d'integració o factor integrand. El factor d'integració és sols una funció agafada de manera tal que permet resoldre l'equació desitjada.

Considerant una equació diferencial ordinària de la forma

$y'+a(x)y = b(x)\quad\quad\quad (1)\,$

on $y=y(x)$ és una funció desconeguda de $x$ , i $a(x)$ i $b(x)$ són funcions donades.

El factor d'integració funciona de manera que transforma la banda esquerra de l'equació en la forma de la derivada d'un producte.

Consident una funció $M(x)$ . Es multipliquen ambdues bandes de (1) per $M(x):$

$M(x)y' + M(x)a(x)y = M(x)b(x)\quad\quad\quad (2)$

Es vol que la banda esquerra quedi de la forma d'una derivada del producte. De fet, si s'assumeix això, la banda esquerra es pot reordenar com a

$(M(x)y)' = M(x)b(x)\quad\quad\quad (3)\,$

I això es pot integrar,

$y(x) M (x) = \int\limits_{}^{}\! b(x) M(x)\,dx + C\,$

on $C$ és una constant (veure constant arbitrària d'integració). I ara es pot resoldre per $y(x),$

$y(x) = \frac{\int\limits_{}^{}\! b(x) M(x)\, dx + C}{M(x)}\,$

Tanmateix, per resoldre explícitament per $y(x)$ es necessita trobar l'expressió de $M(x).$ Es pot deduir de (2) que $M(x)$ obeeix l'equació diferencial

$M'(x)-a(x)M(x) = 0\quad\quad\quad (4)\,$

Per aconseguir $M(x)$ , es divideixen les dues bandes per $M(x):$

$\frac{M'(x)}{M(x)}-a(x) = 0\quad\quad\quad (5)\,$

L'equació (5) ara és de la forma d'una derivada logarítmica. Resolent (5) s'obté

$M(x)=e^{\int\limits_{}^{}\!a(x)\,dx}\,$

Es pot veure que multiplicar per $M(x)$ i la propietat $M'(x) = a(x)M(x)$ són essencials per resoldre aquesta equació diferencial. $M(x)$ s'anomena factor d'integració. El nom prové del fet que és una integral, i es comporta com un múltiple de l'equació (d'aquí el factor).