Fibrat cotangent

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En geometria diferencial, el fibrat cotangent d'una varietat és la unió de tots els espais cotangents a cada punt de la varietat.

Un-formes[modifica | modifica el codi]

Article principal: 1-forma

Les seccions diferenciables del fibrat cotangent són u-formes diferencials, també s'anomenen formes de Pfaff o formes pfaffianas.

Fibrat cotangent com a espai de fase[modifica | modifica el codi]

Forma simplèctica[modifica | modifica el codi]

El fibrat cotangent té una 2-forma simplèctica canònica en ell, com derivada exterior de la 1-forma canònica.

La un-forma assigna a un vector en el fibrat tangent del fibrat cotangent l'aplicació de l'element en el fibrat cotangent (una funcional lineal) a la projecció del vector en el fibrat tangent (el diferencial de la projecció del fibrat cotangent a la varietat original). Provar que la derivada exterior d'aquesta manera és simplèctica es pot fer observant que l'ésser simplèctic és una propietat local: ja que el fibrat cotangent és localment trivial, aquesta definició necessita només ser comprovada en R n × R n. Però allà la un forma definida és la suma de i i dx i, i el diferencial és la forma simplèctica canònica, la suma de di i ∧ dx i.

Espai de fase[modifica | modifica el codi]

Si la varietat M representa el conjunt de posicions possibles en un sistema dinàmic, llavors el fibrat cotangent de T * M es pot pensar com el conjunt de possible posicions i moments. Per exemple, això és una manera fàcil de descriure l'espai de fase (no trivial) d'un pèndol esfèric tridimensional: una bola massiva obligada a moure's al llarg d'una 2 - esfera. La construcció simplèctica esmentada, juntament amb una funció apropiada de energia, dóna una determinació completa de la física del sistema.

Articles relacionats[modifica | modifica el codi]