Fibrat de Seifert

Un fibrat de Seifert és una 3-varietat que s'obté construint un fibrat del tipus

$S^1\subset E\to\Sigma$

on $\Sigma$ és un orbifold que admet cons però no línies reflectores ( reflector lines ). Això últim vol dir que $E$ és localment un producte $U\times S^1$ on $U$ és un conjunt obert de $\Sigma$ excepte en una quantitat finita de punts excepcionals $p_1, p_2 ,..., p_k$ per als quals hi ha discs (veïnats) $D_1, D_2 ,..., D_k$ , un per a cada $p_i$ , disjunts, tals que la fibración per $S^1$ ja no és trivial igual a $d\times S^1$ (fibraciones no trivials de bous sòlids ).

Per obtenir una fibración no trivial en un bou sòlid, primer tallem aquest en un disc meridional. Després en aquest cilindre sòlid donem un gir de $2\pi{a\over b}$ i després enganxem els extrems obtenint un bou sòlid fibrat per cercles $b$ -vegades més llargs excepte el cercle determinat pel centre del disc.

Classificació [modifica]

La següent taula és un diccionari bilingüe entre la primera classificació original de H. Seifert el 1933 i la 1968-moderna de P. Orlik-F. Raymond

$O_1 = Oo$
$N_2 = On$
$O 2 = No$
$N_1 = NNI$
$N_3 = NnII$
$N_4 = NnIII$

Heus aquí els onze primers SFS la característica d'Euler de l' orbifold és χ> 0:

# $(Oo, 0|b)\,$ : els quals són (Oo, 0|0) = $S^2\times S^1$ , (Oo, 0|1) = $S^3$ . I si b> 1 llavors (Oo, 0|b) = L (b, 1) són espais lents no trivials.
# $(Oo, 0|b: (a_1, b_1)) = L (ba_1+b_1, a_1),\,$
# $(Oo, 0|b: (a_1, b_1), (a_2, b_2))\,$
# $(Oo, 0|b: (2,1), (2,1), (a_3, b_3))\,$
# $(Oo, 0|b: (2,1), (3, b_2), (3, b_3))\,$
# $(Oo, 0|b: (2,1), (3, b_2), (4, b_3))\,$
# $(Oo, 0|b: (2,1), (3, b_2), (5, b_3)) = (Oo, 0|-1: (2,1), (3,1) , (5,1))\,$ és l'esfera de Poincaré
# $(NNI, 1|b)\,$ : són dos; $\mathbb{RP}^2\times S^1$ i el fibrat per l'esfera $S^2$ no trivial sobre el cercle: $S^2\otimes S^1$ .
# $(NNI, 1|b: (a_1, b_1))\,$ : són; $\mathbb{RP}^2\times S^1$ quan $ba_1+b_1$ és parell, i $S^2\otimes S^1$ quan $ba_1+b_1$ és senar.
# $(On, 1|b:)\,$ : és una prisma-varietat.
# $(Oo, 0|b: (a_1, b_1))\,$ : també.

Ara els següents 11 que compleixen χ = 0:

# $(Oo, 0|b: (3, b_1), (3, b_2), (3, b_3,))\,$
# $(Oo, 0|b: (2,1), (4,1), (4, b_3))\,$
# $(Oo, 0|b: (2,1), (3, b_2), (6, b_3))\,$
# $(Oo, 0|b: (2,1), (2,1) (2,1), (2,1), (2,1))\,$
# $(Oo, 1|b)\,$ : amb b = 1 això és el producte trivial $T\times S^1$
# $(No, 1|b))\,$
# $(NNI, 1|0: (2,1), (2,1))\,$
# $(NNI, 2|b)\,$ : són dos K-fibrats sobre el cercle. Per b = 0 és $K\times S^1$ . I per b = 1 és $K\times_tS^1$ , on t és l'únic gir de Dehn de K.
# $(On, 1|b: (2,1), (2,1))\,$
# $(On, 2|b)\,$
# $(NnII, 2|b)\,$ : són dos K-fibrats sobre el cercle $K\times_fS^1$ amb les respectives Monodromia $f$ el i-Homeomorfisme i el i-Homeomorfisme compost amb l'únic gir de Dehn a la ampolla de Klein K .