Fibrat vectorial

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, un fibrat vectorial és una construcció geomètrica on cada punt d'un espai topològic (o una varietat, o una varietat algebraica) li associem un espai vectorial de manera compatible, de manera que tots aquests espais vectorials, "enganxats junts", formen un altre espai topològic (o varietat diferenciable).

Un exemple típic és el fibrat tangent d'una varietat diferenciable: a cada punt de la varietat associem l'espai tangent de la varietat en aquest punt. O consideri una corba diferenciable en R, i una a cada punt de la corba la normal de la línia a la corba en aquest punt, això dóna el "fibrat normal" de la corba. Aquest article tracta sobretot dels fibrats vectorials reals, amb fibres finit-dimensionals. Els fibrats vectorials complexos són importants en molts casos, també, són un cas especial, significant que poden ser vistos com una estructura addicional en un fibrat real subjacent.

Definició i primeres conseqüències[modifica | modifica el codi]

Un fibrat vectorial real ve donat per les dades següents:

  • Espais topològics X (l'"espai de base") i L (el "espai total")
  • Una funció contínua π: L → X (la "projecció")
  • Per a cada x a X l'estructura d'un espai vectorial real en la fibra π -1 ({x}) que satisfà la condició de compatibilitat següent: per a cada punt en X hi ha una veïnatge oberta U, un nombre natural n, i un homeomorfisme
\varphi\colon U\times{\mathbb{R}}^n\to\pi^{-1}U

tals que per a cada punt x a U

* Πφ (x, v) = x per a tots els vectors v en R n
* La funció v |--> φ (x, v) dóna un isomorfisme entre l'espai vectorial R n i π -1 ({ x }).

El veïnatge oberta U juntament amb l'homeomorfisme φ s'anomena una trivialització local del fibrat. La trivialització local mostra que localment la funció π s'assembla la projecció de U x R n a U.

Un fibrat vectorial es diu trivial si hi ha una "trivialització global", és a dir si s'assembla la projecció X x R n → X. Cada fibrat vectorial π: L → X és suprajectiva, ja que els espais vectorials no poden ser buits. Cada fibra π -1 ({ x }) és un espai vectorial real finit-dimensional i per tant té una dimensió d x . La funció x |--> d x és localment constant, és a dir és constant en tota component connexa de X. Si és constant global en X, anomenem aquesta dimensió el rang del fibrat vectorial. Un fibrat vectorial de rang 1 es diu un fibrat de línia.

Morfismes[modifica | modifica el codi]

Un morfisme des del fibrat vectorial π 1 : L 1 → X 1 al fibrat vectorial π 2 : L 2 → X 2 ve donat per un parell de funcions contínues f : L 1 → E 2 i g : X 1 → X 2 tals que

  • g π 1 = π 2 f
Morfisme
  • Per a cada x a X 1 , la funció π 1 -1 ({ x }) → π 2 -1 ({ g (x)}) induïda per f és una transformació lineal entre els espais vectorials.

La composició de dos morfismes és una altra vegada un morfisme, i obtenim la categoria dels fibrats vectorials.

Podem també considerar la categoria de tots els fibrats vectorials sobre un espai base fix X. Com morfismes en aquesta categoria prenem aquests morfismes de fibrats vectorials la funció en l'espai base és la funció identitat de X. (notar que aquesta categoria és no abeliana, El nucli d'un morfisme de fibrats vectorials no és, en general, un fibrat vectorial de cap manera natural.)


Morfisme

(Noteu que aquesta categoria no és abeliana. El nucli d'un morfisme de fibrats vectorials en general no és un fibrat vectorial de manera natural.)

Seccions i fas localment lliures[modifica | modifica el codi]

Donat un fibrat vectorial π: L → X i un subconjunt obert U de X, podem considerar seccions de π en U, és a dir funcions contínues/es: U → e amb πs = id U .

Essencialment, una secció assigna a cada punt de U un vector de l'espai vectorial associat, d'una manera contínua. Per exemple, les seccions del fibrat tangent d'una varietat diferenciable no són altra cosa que els camps vectorials en aquesta varietat.

Sigui F (U) el conjunt de totes les seccions En U. F (U) conté sempre com a mínim un element: la funció es que mapeja cada element x de U a l'element zero de l'espai π -1 ({ x }). Amb l'addició punt a punt i multiplicació escalar de seccions, F (U) es converteix, també, en un espai vectorial real. La col·lecció d'aquests espais vectorials és un fes d'espais vectorials en X.

Si s és un element de F (U) i α: U → R és una funció contínua, llavors α s està en F (U). Veiem que F (U) és un mòdul sobre l'anell de funcions amb valors reals contínues en U. A més, si O X denota el feix d'estructura de funcions amb valors reals contínues en X, llavors F es converteix en un feix d'O X -mòduls.

No tot feix de O X -mòduls sorgeix d'aquesta manera d'un fibrat vectorial: només els localment lliure s. (la raó: localment estem buscant seccions d'una projecció U x R n → U; aquestes són exactament les funcions contínues de U → R n , i una tal funció és una n -tupla de funcions contínues U → R .)

Encara més: la categoria dels fibrats vectorials reals en X és equivalent a la categoria dels feixos localment lliures i finitament generats de O X -mòduls. Podem pensar els fibrats vectorials com estant dins de la categoria de feixos d'O X -mòduls, aquesta darrera categoria és abeliana, així que aquí és on podem computar nuclis de morfismes de fibrats vectorials.

Operacions en els fibrats vectorials[modifica | modifica el codi]

Dues fibrats vectorial en X, sobre el mateix cos, tenen suma Whitney, amb la fibra en qualsevol punt que en fa la suma directa de fibres. D'una manera similar, el producte tensorial i el espai dual poden ser introduïts fibra a fibra.

Variants i generalitzacions[modifica | modifica el codi]

Els fibrats vectorials són fibrats especials, parlant impròpiament, aquests on les fibres són espais vectorials.

Els fibrats vectorials diferenciables es defineixen requerint que L i X siguin varietats diferenciables, π e → X sigui una funció diferenciable, i les funcions de trivialització local φ siguin difeomorfismes.

Substituint espais vectorials reals per complexos, obtenim fibrats vectorials complexos. Aquest és un cas especial de reducció del grup d'estructura d'un fibrat. Espais vectorials sobre altres cossos topològics poden també ser utilitzats, però això és comparativament estrany. Si permetem espais de Banach arbitraris a la trivialització local (en lloc de només R n ), obtenim fibrats de Banach.