Filtre de Kalman

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El filtre de Kalman és un algorisme desenvolupat per Rudolf E. Kalman el 1960 que serveix per poder identificar l'estat ocult (no mesurable) d'un sistema dinàmic lineal, igual que l'observador de Luenberger, però serveix a més quan el sistema està sotmès a soroll blanc additiu. La diferència entre ambdós és que en l'observador de Luenberger, el guany K de realimentació de l'error ha de ser escollida "a mà", mentre que el filtre de Kalman és capaç de escollir-de manera òptima quan es coneixen les variàncies dels sorolls que afecten el sistema.

Cas de temps discret:

Es té un sistema donat per:

 \quad x_k = A_{k-1}x_{k-1}+B_{k-1}u_{k-1}+w_{k-1}

 \quad z_k = C_k x_k+v_k

on:

 \quad w_k és soroll blanc de valor mitjà igual a zero i amb variància  \quad Q_k en l'instant k

 \quad v_k és soroll blanc de valor mitjà igual a zero i amb variància  \quad R_k en l'instant k

El filtre de Kalman permet identificar l'estat  \quad x_k a partir de les mesures anteriors de  \quad u_k ,  \quad z_k ,  \quad Q_k ,  \quad R_k i les identificacions anteriors de  \quad x_k .


Cas de temps continu:

Es té un sistema donat per:

 \quad \frac{d}{dt}x (t) = A (t) x (t)+B (t) o (t)+w (t)

 \quad z (t) = C (t) x (t)+v (t)

on:

 \quad w (t) és soroll blanc de valor mitjà igual a zero i amb variància  \quad Q (t) en l'interval de temps descrit com t.

 \quad v (t) és soroll blanc de valor mitjà igual a zero i amb variància  \quad R (t) en l'interval de temps descrit com t.

El filtre de Kalman permet identificar l'estat  \quad x (t+dt) a partir de les mesures anteriors de  \quad u (t) ,  \quad z (t) ,  \quad Q (t) ,  \quad R (t) i les identificacions anteriors de  \quad x (t) .


En el cas que el sistema dinàmic sigui no-lineal, és possible usar una modificació de l'algorisme anomenada "filtre de Kalman estès", el qual linealitzar el sistema al voltant del  \hat x (t) identificat realment, per calcular el guany i la direcció de correcció adequada. En aquest cas, en comptes d'haver matrius A, B i C, hi ha dues funcions  f (x, u, w) i  h (x, v) que venen la transició d'estat i l'observació (la sortida contaminada) respectivament.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]