Forma quadràtica definida

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, i més particularmentment en àlgebra lineal, una forma quadràtica definida és una forma quadràtica definida sobre el cos dels nombres reals que satisfà una propietat de positivitat o negativitat; es parla aleshores de forma quadràtica definida positiva o de forma quadràtica definida negativa, respectivament. El mateix concepte s'aplica a les matrius simètriques amb coeficients reals. En el cas de coeficients complexos hi ha un concepte anàleg per a les formes hermítiques.


Definició per a formes quadràtiques i formes hermítiques[modifica | modifica el codi]

Sigui V un espai vectorial real o complex, g \colon V\times V \to \mathbb R una forma bilineal simètrica, o bé g \colon V\times V \to \mathbb C una forma hermítica. Denotem-la per (x|y) = g(x,y). Recordem que en el cas real g defineix una forma quadràtica per Q(v)=(v|v), i que en el cas hermític sempre es compleix que (v|v) és real. Es diu que g, o la forma quadràtica Q, és:

definida positiva si, per a tot v diferent de zero, (v|v) > 0
semidefinida positiva si, per a tot v, (v|v) \geq 0
definida negativa si, per a tot v diferent de zero, (v|v) < 0
semidefinida negativa si, per a tot v, (v|v) \leq 0
indefinida si no és semidefinida

Observem doncs que la forma és indefinida sii hi ha un u tal que (u|u) < 0 i un v tal que (v|v) > 0. L'única forma que és alhora semidefinida positiva i semidefinida negativa és la forma nul·la.

Una forma definida positiva es diu producte escalar. Per exemple producte escalar estàndard sobre \R^n (o \mathbb C^n) és definit positiu.

Definició per a matrius simètriques i matrius hermítiques[modifica | modifica el codi]

Cada matriu A quadrada simètrica amb coeficients reals (o matriu hermítica amb coeficients complexos) defineix una forma bilineal simètrica sobre V = \R^n (o bé una forma hermítica sobre V = \C^n). En qualsevol dels casos es diu que la matriu és definida positiva, etc., si ho és la forma corresponent. Així doncs, en el cas real, A es diu:

definida positiva si, per a tot x diferent de zero, x^\top A x > 0
semidefinida positiva si, per a tot x, x^\top A x \geq 0
definida negativa si, per a tot x diferent de zero, x^\top A x < 0
semidefinida negativa si, per a tot x, x^\top A x \leq 0
indefinida si no és semidefinida

on x és un vector columna arbitrari.

En el cas complex les expressions anteriors canvien lleugerament: en lloc del vector fila transposat x^\top cal posar el vector fila adjunt (transposat i conjugat), x^*\; = \overline x^\top.

Criteris de definició per a matrius simètriques i matrius hermítiques[modifica | modifica el codi]

Valors propis[modifica | modifica el codi]

Una matriu quadrada simètrica (o bé hermítica) és:

definida positiva si tots els seus valors propis són estrictament positius;
semidefinida positiva si tots els valors propis són més grans o iguals que zero;
definida negativa si tots els seus valors propis són estrictament negatius;
semidefinida negativa si tots els valors propis són més petits o iguals que zero;
indefinida si té valors propis estrictament positius i estrictament negatius.

En principi, doncs, caldria calcular (o estimar) els valors propis de la matriu. Tanmateix, és suficient conèixer el signe d'aquests vectors propis, problema més fàcilment resoluble.

Menors principals[modifica | modifica el codi]

Una matriu simètrica (o hermítica) A és definida positiva sii tots els seus menors principals dominants són estrictament positius. Anàlogament, com que A és definida negativa sii -A és definida positiva, resulta que A és definida negativa sii aquests menors es van alternant de signe (els d'ordre imparell són negatius i els d'ordre parell positius). Més detalladament:

Sigui A = (a_{ij}) una matriu simètrica real, o una matriu hermítica complexa. Considerem els menors principals dominants de A:


\Delta_1 = a_{11},
\quad
\Delta_2 = \left|
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array} \right|,
\quad
\ldots,
\quad
\Delta_n = \left|
\begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{array} \right|

Llavors

  • A és definida positiva sii \Delta_i > 0 per a 1 \leq i \leq n.
  • A és definida negativa sii (-1)^i \Delta_i > 0 per a 1 \leq i \leq n.

Observacions

  • Per a matrius semidefinides no hi ha criteri de menors principals.[1]
  • Aquest criteri rep el nom de criteri de Sylvester. A vegades també s'anomena criteri de Hurwitz.

Mètode d'eliminació de Gauss[modifica | modifica el codi]

Una matriu quadrada simètrica real A=(a_{i,k})_{i,k=1}^n és definida positiva quan s'hi pot aplicar el mètode de reducció de Gauss sense canvis de línia, amb pivots positius.

Factorització de Cholesky[modifica | modifica el codi]

Una matriu simètrica A és definida positiva quan se'n pot fer una factorització de Cholesky A=G G^T amb G matriu triangular inferior invertible.

Matrius amb diagonal dominant[modifica | modifica el codi]

Una matriu A simètrica, amb diagonal estrictament dominant, i amb tots els elements diagonals positius, és definida positiva.[2]

El recíproc és fals. La matriu següent és definida positiva però no amb diagonal dominant:

 \begin{pmatrix} 
1 &   2 \\ 
2 & 100 \\
\end{pmatrix}

Importància[modifica | modifica el codi]

  • La restricció d'una forma definida positiva a un subespai és encara definida positiva, i en particular no degenerada. Aquest fet permet descompondre l'espai en suma directa d'un subespai i el seu complement ortogonal.
  • El caràcter definit d'una forma quadratica té un paper fonamental en l'estudi i classificació dels punts crítics d'una funció f\colon \R^n \to \R, és a dir, en el càlcul d'extrems.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. IEEE: On Sylvester's criterion for positive-semidefinite matrices, Trans. Automatic Control, 1973 (anglès)
  2. Spezielle Matrixeigenschaften, Richard Reiner, 9126720, Gruppe: Next Generation (alemany)