Formulació covariant de l'electrodinàmica clàssica

La formulació covariant de l’electroganetisme clàssic, (esent el terme covariant la covariància i contravariància de vectors), es refereix a les maneres d’escriure les lleis de l’electromagnetisme clàssic (en particular, les equacions de Maxwell i la força de Lorentz) en una manera que és "manifestament covariant" (és a dir, en termes de quadrivectors i tensors aquests darrera són tensors en les quatre dimensions de l’espai-temps), dins del formalisme de la relativitat especial. Aquestes expressions, fan que sigui senzill demostrar que les lleis de l'electromagnetisme clàssic adopten la mateixa forma en qualsevol sistema de coordenades inercial, i també proporcionen una manera de traduir els camps i les forces d'un marc a un altre.

Tensor electromagnètic

El tensor electromagnètic, és un dels objectes covariants, és la combinació dels camps elèctrics i camps magnètics dins un tensor antisimètric. En el sistema SI d’unitats :volt·segons/metre², el tensor d’intensitat de camp s’escriu en termes de camps com:

$F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right)\,$

i el resultat d’elevar els seus índexs és

$F^{\mu \nu} \, \stackrel{\mathrm{def}}{=} \, \eta^{\mu \alpha} \, F_{\alpha \beta} \, \eta^{\beta \nu} = \left( \begin{matrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right)\,.$

on

$\boldsymbol{E}\,$ és el camp elèctric,

$\boldsymbol{B}\,$el camp magnètic, i

$c\,$ la velocitat de la llum.

Atenció: els signes del tensor depenen de la convenció usada pel sensor mètric. Aqui s’ha usat la convenció +---, corresponent al sensor mètric $\eta^{\mu \nu}\,$:

$\eta^{\mu \nu}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\,$

Bibliografia

• Einstein, A.. Relativity: The Special and General Theory. New York: Crown, 1961. ISBN 0-517-02961-8. 

• Misner, Charles; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald. Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman, 1973. ISBN 0-7167-0344-0. 

• Landau, L. D. and Lifshitz, E. M.. Classical Theory of Fields (Fourth Revised English Edition). Oxford: Pergamon, 1975. ISBN 0-08-018176-7. 

• R. P. Feynman, F. B. Moringo, and W. G. Wagner. Feynman Lectures on Gravitation. Addison-Wesley, 1995. ISBN 0-201-62734-5.