Funció Lipschitz

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Dins l'entorn de la matemàtica, una funció f: MN entre espais mètrics M i N és anomenada Lipschitz contínua (o es diu que satisfà una condició de Lipschitz) si existeix una constant K > 0 tal que d (f(x), f(y)) ≤ K d(x, y) per a tot x i y a M. En aquest cas, K és anomenada la constant Lipschitz de la funció. El nom ve del matemàtic alemany Rudolf Lipschitz.

Característiques i resultats principals[modifica | modifica el codi]

  • Si U és un subconjunt del espai mètric M i f : UR és una funció Lipschitz contínua a valors reals, aleshores sempre hi ha una funció Lipschitz contínua MR que estén f i té la mateixa constant Lipschitz que f . (vegeu també teorema de Kirszbraun).
  • Una funció Lipschitz contínua f : IR , on I és un interval En R , és gairebé per tot diferenciable (sempre, excepte en un conjunt de mesura de Lebesgue zero). Si K és la constant Lipschitz de f , llavors| (f ') ( x )|≤ K atès que la derivada existeixi. Contràriament, si f : IR és una funció diferenciable amb derivada fitada,| (f ') ( x )|≤ L per a tota x a I , llavors f és Lipschitz contínua amb constant Lipschitz KL , una conseqüència de l'teorema del valor mitjà.

Definicions relacionades[modifica | modifica el codi]

Aquestes definicions es requereixen en el Teorema de Picard-Lindelof i en resultats relacionats amb ell.

  • Localitat Lipschitz : Donats M, N, espais mètrics, es diu que una funció  f: M \longrightarrow N és localment Lipschitz si per a tot punt de M existeix un entorn on la funció compleix la condició Lipschitz.
  • Funció Lipschitz respecte a una variable : Donats M, N, L espais mètrics, es diu que una funció  \begin{matrix}f: M \times N \to L \\
(t, x) \mapsto f (t, x) \end{matrix} és localment Lipschitz respecte  x \, si compleix la condició Lipschitz per punts de N.

Exemples[modifica | modifica el codi]

Les funcions lineals i les funcions amb derivada fitada són exemples de funcions Lipschitz. Com a corol·lari, les funcions de classe C1 en un compacte són també Lipschitz.

Referències[modifica | modifica el codi]