Funció contínua

Funció contínua és un terme utilitzat en matemàtiques i, en particular, en topologia.

Definició matemàtica per funcions de variables reals

Funció contínua en un punt

Siguin $I$ un interval de $\mathbb R$, $f$ una aplicació de $I$ a $\mathbb R$, i $x_0$ un punt de $I$. Es diu que $f$ és contínua en el punt $x_0$ si i només si:

$\forall \varepsilon >0,\exists \delta>0,\,x\in\,]x_0-\delta,x_0+\delta[\,\cap I\Longrightarrow |f(x)-f(x_0)|\le \varepsilon\,$

És a dir, una funció és contínua quan per qualsevol punt $x$ del seu domini podem trobar un interval tal que la seva imatge estigui continguda en un interval tan petit com vulguem al voltant de la seva imatge $f(x)$.

Continuïtat i límits

Si $f$ és contínua en $x_0$, llavors $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$.

Si això és cert únicament per a $x>x_0$, es diu que $f$ és contínua a la dreta de $x_0$.

De la mateixa forma, si és contínua per a $x<x_0$, $f$ és contínua a l'esquerra de $x_0$.

Dir que $f$ és contínua en $x_0$ significa que aquesta aplicació és contínua a la dreta i a l'esquerra d'aquest punt.

Continuïtat en un interval

Es diu que $f$ és contínua en $[a,b]$ si és contínua en tots el punts d'aquest interval.

És a dir:

$\forall x\in[a,b],\,\forall \varepsilon >0,\exists \delta>0,\,y\in\,]x-\delta,x+\delta[\,\cap I\Longrightarrow |f(x)-f(y)|\le \varepsilon\,$ ,

que equival a què:

• $f$ és contínua a $]a,b[$.
• El límit a la dreta de $f(x)$ quan $x \to a$ val $f(a)$ i el límit a l'esquerra quan $x \to b$ val $f(b)$.

Derivabilitat i continuïtat

Qualsevol funció derivable en un punt o en un interval, és igualment contínua en aquest punt o interval.

El recíproc és fals.

Per exemple, la funció $f(x)=|x|$ (valor absolut de $x$ és una funció contínua a $\mathbb R$, en canvi, no és derivable en el punt $x=0$.

Funcions usuals

Les funcions polinòmiques, exponencials, logarítmiques, hiperbòliques, trigonomètriques són derivables en els intervals en què estan definides, i són, doncs, igualment contínues en aquests intervals.

Tipus de discontinuïtats de funcions d'una variable real

Discontinuïtat asimptòtica

Una funció f(x) presenta una discontinuïtat asimptòtica en un punt a quan no està definida en aquest punt i el límit de la funció en aquest punt és de tipus infinit. Es pot donar un dels quatre casos diferents:

   (1)  $\scriptstyle{\lim_{x \to a}{f(x)= \infty}}$        (2)  $\scriptstyle{\lim_{x \to a}{f(x)= -\infty}}$       (3)  $\scriptstyle{\lim_{x \to a^-}{f(x)= +\infty}}$  i $\scriptstyle{\lim_{x \to a^+}{f(x)= -\infty}}$       (4)  $\scriptstyle{\lim_{x \to a^-}{f(x)= -\infty}}$  i $\scriptstyle{\lim_{x \to a^+}{f(x)= +\infty}}$

La recta x=a s'anomena asímptota vertical.

Exemple:

Discontinuïtat de salt

Una funció f(x) presenta una discontinuïtat de salt en un punt a quan els límits laterals en aquest punt no són iguals:      $\lim_{x \to a^-}{f(x)}\neq \lim_{x \to a^+}{f(x)}$

Exemple:

Discontinuïtat evitable

Una funció f(x) presenta una discontinuïtat evitable en un punt a quan la funció té límit en aquest punt però no coincideix amb el valor de la funció, bé perquè no està definida, bé perquè és diferent:      $\lim_{x \to a^-}{f(x)} = \lim_{x \to a^+}{f(x)} = \lim_{x \to a}{f(x)}\neq {f(a)}$

Per tant, la funció f es podria fer contínua només redefinint f(a).

Exemple:

Àlgebra de les funcions contínues i composició de funcions contínues

Per definició:

$f$ contínua a $a \Leftrightarrow \lim_{x \to a}f(x) = f(a)$.

Dels teoremes sobre els límits resulta:

Àlgebra de les funcions contínues

Siguin $f$ i $g$ dues funcions contínues en un mateix interval $I$. Llavors:

• $\alpha f + \beta g \quad \forall (\alpha, \beta) \in \R^2$ (combinació lineal)
• $f\cdot g$ (producte)
• $\frac{f}{g}\quad (g \ne 0)$ (quocient)

són funcions contínues a $I$.

Composició de funcions contínues

Si $f$ és contínua a $I$ i $g$ és contínua a $f(I)$ llavors $g \circ f$ és contínua a $I$.

Funcions contínues entre espais topològics

La definició esmentada de funció continua es pot expressar de forma més general a les funcions entre dos espais topològics; donada una funció $f:A\longrightarrow B$ entre dos espais topològics, aquesta és continua si i només si per a tot obert $O\subseteq B$ es dóna que $f^{-1}\left[O\right]$ és un obert de $A$.

Vegeu també

• Mètodes infinitesimals

Enllaços externs

• Plana de Josep E. Peris