Funció d'Euler

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, la funció d'Euler ve donada per

\phi(q)=\prod_{k=1}^\infty (1-q^k)

Fou anomenada en honor a Leonhard Euler, i és un exemple prototípic de sèries q, una forma modular, i proveeix l'exemple prototípic d'una relació entre combinatòria i anàlisi complexa.

Propietats[modifica | modifica el codi]

El coeficient p(k) en l'expansió de sèrie de potències formals per 1/\phi(q) dóna el nombre de totes les particions de k. Això és

\frac{1}{\phi(q)}=\sum_{k=0}^\infty p(k) q^k

on p(k) és la funció de partició de k.

La identitat d'Euler és

\phi(q)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{(3n^2-n)/2}

Cal notar que (3n^2-n)/2 és un nombre pentagonal.

La funció d'Euler està relacionada amb la funció Dedekind eta mitjançant una identitat de Ramanujan:

\phi(q)= q^{-\frac{1}{24}} \eta(\tau)

on q=e^{2\pi i\tau} és el quadrat del nome.

Referències[modifica | modifica el codi]