Funció de Liouville

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La funció de Liouville , denotada per λ ( n ) i atribuïda a Joseph Liouville, és una important funció en teoria de nombres.

Si n és un enter positiu, aleshores λ ( n ) és definit com:

 \Lambda (n) = (-1)^{\Omega (n)}, \, \!

on la funció Ω ( n ) és el nombre de factors primers de n , comptats amb multiplicitat. Vegeu la funció a OEIS.

λ és una funció completament multiplicativa atès que Ω ( n ) és una funció additiva. Com que Ω (1) = 0 tenim que λ (1) = 1. La funció de Liouville satisfà la següent identitat:

 \sum_{d|n}\lambda (d) = 1 \, \! si n és un quadrat perfecte, i:
 \sum_{d|n}\lambda (d) = 0 \, \! d'una altra manera.

Sèries[modifica | modifica el codi]

La sèrie de Dirichlet per a la funció de Liouville en termes de la funció zeta de Riemann té la forma

 \frac{\zeta (2s)}{\zeta (s)}= \sum_{n = 1}^\infty \frac{\lambda (n)}{n^s}.

La sèrie de Lambert per a la funció de Liouville és

 \sum_{n = 1}^\infty \frac{\lambda (n) q^n}{1-q^n}=
\sum_{n = 1}^\infty q^{n^2}=
\frac{1}{2} \left (\vartheta_3 (q) -1 \right),

on  \vartheta_3 (q) és la funció theta de Jacobi.

Conjectures[modifica | modifica el codi]

La conjectura de Pólya és una conjectura formulada per George Pólya el 1919, aquesta estableix que:

 L (n) = \sum_{k = 1}^n \lambda (k) \leq 0

per n > 1. Aquesta conjectura va resultar ser falsa. El contraexemple més petit és n = 906150257, trobat per Minoru Tanaka en 1980. Es desconeix si L ( n ) canvia de signe infinitament.

Definint la suma

 M (n) = \sum_{k = 1}^n \frac{\lambda (k)}{k},

s'especula que en algun moment M ( n ) ≥ 0 per nn 0 prou gran (aquesta conjectura és ocacionalmente (però incorrectament) atribuïda a Pál Turán). Aquesta va ser refutada per Haselgrove en 1958 (vegeu la referència), ell va mostrar que M ( n ) pren valors negatius infinites vegades. Si és veritat aquesta conjectura, aquesta es pot veure com una prova de la hipòtesi de Riemann, com ho va mostrar Pál Turán.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Polya, G., Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie. Jahresbericht der deutschen Math.-Vereinigung 28 (1919), 31-40.
  2. Haselgrove, C.B. A disproof of a conjecture of Polya. Mathematika 5 (1958), 141-145.
  3. Lehman, R., On Liouville 's function. Math. Comp. 14 (1960), 311-320.
  4. M. Tanaka, A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function. Tòquio Journal of Mathematics 3 , 187-189, (1980).