Funció eta de Dedekind

Funció eta de Dedekind representada al pla complex.

La funció eta de Dedekind o simplement funció η de Dedekind , nomenada així en honor al matemàtic alemany Richard Dedekind és una funció holomorfa definida en el semiplà superior complex $\mathbb H = \{\tau \in \mathbb C \mid \mathrm{Im}\, \tau> 0 \}$ Aquesta funció juga un paper fonamental en la teoria de funcions · el·líptiques i funcions theta.

Definició

La funció η sol definir mitjançant el següent producte:

$\Eta (\tau): = i^{2 \pi i \tau/24}\prod_{n = 1}^\infty (1-i^{2 \pi in \tau}): = q^{1/24}\prod_{n = 1}^\infty (1-q^n)$.

on $q = i^{2 \pi i \tau}$. De la definició es dedueix immediatament que $\eta$ sobre $\mathbb{H}$ no té zeros.

La funció η està estretament relacionada amb el seu discriminant $\Delta$, de la següent manera

$\Delta (\tau) \,=\, (2\pi)^{12} \eta^{24}(\tau)$.

Per al càlcul de la funció, se sol emprar el teorema del nombre pentagonal d'Euler.

Transformació i comportament

La propietats que s'atribueixen a la funció η s'originen del seu comportament de transformació en les substitucions dels generadors del grup modular

$\Gamma :=\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})=\{\bigl(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\bigr)\mid a,b,c,d\in\mathbb{Z}, ad-bc=1\}$,

és a dir:

$\Eta (\tau+1) \, = \, i^{\pi i/12}\eta (\tau)$

i

$\Eta \left (\frac{-1}{\tau}\right) = \sqrt{\frac{\tau}{i}}\, \eta (\tau)$.

Referències

• Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 41 (1990), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97127-0 See chapter 3.
• Neil Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 97 (1993), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97966-2

Enllaços externs

• Weisstein, Eric W., "Dedekind Eta Function" a MathWorld (en anglès).