Un funció finestra és una funció matemàtica usada sovint en l'anàlisi i el processament de senyals per evitar les discontinuïtats al principi i al final dels blocs analitzats. En processament de senyals, una finestra s'utilitza quan ens interessa un senyal de longitud voluntàriament limitada. En efecte, un senyal real ha de ser de temps finit, a més, un càlcul només és possible a partir d'un nombre finit de punts. Per observar un senyal en un temps finit, la multipliquem per una funció finestra .
La més simple és la finestra rectangular definida com:
h
(
t
)
=
{
1
si
t
∈
[
0
,
T
]
0
resta
{\displaystyle h(t)={\begin{cases}1&{\mbox{ si }}t\in [0,T]\\0&{\mbox{resta}}\end{cases}}}
Així, quan multipliquem un senyal
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
T
{\displaystyle T}
observem el senyal en un interval
T
{\displaystyle T}
s
(
t
)
{\displaystyle s(t)}
s
h
(
t
)
=
s
(
t
)
⋅
h
(
t
)
{\displaystyle s_{h}(t)=s(t)\cdot h(t)}
freqüència , mitjançant una transformada de Fourier , obtenim el producte de convolució
S
h
(
f
)
=
S
(
f
)
∗
H
(
f
)
{\displaystyle S_{h}(f)=S(f)\ast H(f)}
H
(
f
)
{\displaystyle H(f)}
La utilització d'una finestra canvia l'espectre en freqüència del senyal. Hi ha diferents tipus de finestra que permeten obtenir diferents resultats en el domini de les freqüències.
Finestres típiques [ modifica ]
Algunes finestres en la seva forma discreta de mida
N
{\displaystyle N\,}
0
≤
n
≤
N
−
1
{\displaystyle 0\leq \;n\leq \;N-1\,}
Funció finestra rectangular i la seva resposta de freqüència
v
(
n
)
=
1
{\displaystyle v(n)=1\,}
Funció finestra de Hann i la seva resposta de freqüència
v
(
n
)
=
a
0
−
a
1
cos
(
2
π
n
N
−
1
)
{\displaystyle v(n)=a_{0}-a_{1}\,\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)}
a
0
=
0
,
5
;
a
1
=
0
,
5
{\displaystyle a_{0}=0,5;\quad a_{1}=0,5\quad \,}
Sovint, la finestra de Hann apareix anomenada com a finestra de Hanning en analogia a la finestra de Hamming. Això és incorrecte, atès que els noms de les finestres es deuen a Julius von Hann i Richard Wesley Hamming respectivament. Un altre nom comú per a aquesta finestra és "cosinus elevat".
Funció finestra de Hamming i la seva resposta de freqüència
v
(
n
)
=
a
0
−
a
1
cos
(
2
π
n
N
−
1
)
{\displaystyle v(n)=a_{0}-a_{1}\,\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)}
a
0
=
0
,
53836
;
a
1
=
0
,
46164
{\displaystyle a_{0}=0,53836;\quad a_{1}=0,46164\quad \,}
Funció finestra de Blackman i la seva resposta de freqüència
v
(
n
)
=
a
0
−
a
1
cos
(
2
π
n
N
−
1
)
+
a
2
cos
(
4
π
n
N
−
1
)
{\displaystyle v(n)=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N-1}}\right)}
a
0
=
0
,
42
;
a
1
=
0
,
5
;
a
2
=
0
,
08
{\displaystyle a_{0}=0,42;\quad a_{1}=0,5;\quad a_{2}=0,08\,}
Blackman-Harris [ modifica ] Funció finestra de Blackman-Harris i la seva resposta de freqüència
v
(
n
)
=
a
0
−
a
1
cos
(
2
π
n
N
−
1
)
+
a
2
cos
(
4
π
n
N
−
1
)
−
a
3
cos
(
6
π
n
N
−
1
)
{\displaystyle v(n)=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N-1}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N-1}}\right)}
a
0
=
0
,
35875
;
a
1
=
0
,
48829
;
a
2
=
0
,
14128
;
a
3
=
0
,
01168
{\displaystyle a_{0}=0,35875;\quad a_{1}=0,48829;\quad a_{2}=0,14128;\quad a_{3}=0,01168\,}
Blackman-Nuttall [ modifica ] Funció finestra de Blackman-Nuttall i la seva resposta de freqüència
v
(
n
)
=
a
0
−
a
1
cos
(
2
π
n
N
−
1
)
+
a
2
cos
(
4
π
n
N
−
1
)
−
a
3
cos
(
6
π
n
N
−
1
)
{\displaystyle v(n)=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N-1}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N-1}}\right)}
a
0
=
0
,
3635819
;
a
1
=
0
,
4891775
;
a
2
=
0
,
1365995
;
a
3
=
0
,
0106411
{\displaystyle a_{0}=0,3635819;\quad a_{1}=0,4891775;\quad a_{2}=0,1365995;\quad a_{3}=0,0106411\,}
Funció finestra flat-top i la seva resposta de freqüència
v
(
n
)
=
a
0
−
a
1
cos
(
2
π
n
N
−
1
)
+
a
2
cos
(
4
π
n
N
−
1
)
−
a
3
cos
(
6
π
n
N
−
1
)
+
a
4
cos
(
8
π
n
N
−
1
)
{\displaystyle v(n)=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N-1}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N-1}}\right)+a_{4}\cos \left({\frac {8\pi n}{N-1}}\right)}
a
0
=
1
;
a
1
=
1
,
93
;
a
2
=
1
,
29
;
a
3
=
0
,
388
;
a
4
=
0
,
032
{\displaystyle a_{0}=1;\quad a_{1}=1,93;\quad a_{2}=1,29;\quad a_{3}=0,388;\quad a_{4}=0,032\,}
Funció finestra de Gauss i la seva resposta de freqüència
v
(
n
)
=
e
−
1
2
(
n
−
(
N
−
1
)
/
2
σ
(
N
−
1
)
/
2
)
2
{\displaystyle v(n)=e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {n-(N-1)/2}{\sigma (N-1)/2}}\right)^{2}}}
σ
≤
0
,
5
{\displaystyle \sigma \leq \;0,5\,}
Funció finestra triangular i la seva resposta de freqüència
v
(
n
)
=
N
2
−
|
n
−
N
−
1
2
|
{\displaystyle v(n)={\frac {N}{2}}-\left|n-{\frac {N-1}{2}}\right|\,}
Funció finestra de Bartlett i la seva resposta de freqüència
v
(
n
)
=
N
−
1
2
−
|
n
−
N
−
1
2
|
{\displaystyle v(n)={\frac {N-1}{2}}-\left|n-{\frac {N-1}{2}}\right|\,}
Funció finestra de Bartlett-Hann i la seva resposta de freqüència
v
(
n
)
=
a
0
−
a
1
|
n
N
−
1
−
1
2
|
−
a
2
cos
(
2
π
n
N
−
1
)
{\displaystyle v(n)=a_{0}-a_{1}\left|{\frac {n}{N-1}}-{\frac {1}{2}}\right|-a_{2}\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)}
a
0
=
0
,
62
;
a
1
=
0
,
48
;
a
2
=
0
,
38
{\displaystyle a_{0}=0,62;\quad a_{1}=0,48;\quad a_{2}=0,38\,}
v
(
k
)
=
I
0
(
π
a
1
−
(
2
k
/
t
)
2
)
I
0
(
π
a
)
{\displaystyle v(k)={\frac {I_{0}(\pi a{\sqrt {1-(2k/t)^{2}}})}{I_{0}(\pi a)}}}
On
I
0
{\displaystyle I_{0}\,}
funció de Bessel de primer tipus d'ordre zero i
a
{\displaystyle a\,}
nombre real arbitrari que determina la forma de la finestra.
![{\displaystyle h(t)={\begin{cases}1&{\mbox{ si }}t\in [0,T]\\0&{\mbox{resta}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea96cbeef8967529c566c105118f381514af2c02)
.svg)
.svg)
.svg)
.png)
.png)
.png)
.png)
.svg)
.png)
.png)
.png)
