Funció gaussiana

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Corbes gaussianes amb diferents paràmetres
200pxForma tridimensional.

En matemàtiques la funció gaussiana (en honor a Carl Friedrich Gauss), és una funció definida per l'expressió:

f(x) = a e^{- { \frac{(x-b)^2 }{ 2 c^2} } }

on a, b i c són constants reals (a > 0).

La gràfica de la funció és simètrica amb forma de campana, coneguda com a campana de Gauss. El paràmetre a és l'altura de la campana centrada en el punt b, determinant c l'ample de la mateixa.

Les funcions gaussianes s'utilitzen freqüentment en estadística corresponent, en el cas que a sigui igual a \frac{1}{c\sqrt{2\pi}}, a la funció de densitat d'una variable aleatòria amb distribució normal de mitjana μ=b i variància σ2=c2.

Les funcions gaussianes amb c2 = 2 són les autofuncions de la transformada de Fourier. Això significa que la transformada de Fourier d'una funció gaussiana no és només altra gaussiana, sinó a més un múltiple escalar de la funció original.

Propietats[modifica | modifica el codi]

Les gaussianes es troben entre les funcions elementals, encara que no posseïxen primitives elementals. No obstant això, el valor exacte de la integral impròpia sobretot el rang real pot derivar-se a partir del valor de la integral de Gauss obtenint-se que:

\int_{-\infty}^{\infty} a e^{- { \frac{(x-b)^2 }{ 2 c^2} } }\,dx = a|c|\sqrt{2\pi}.

El valor de la integral és 1 si i solament si  a =\frac{1}{c\sqrt{2\pi}}, en aquest cas la funció gaussiana és la funció de densitat d'una variable aleatòria amb distribució normal de mitjana μ=b i variància σ2=c2. Es mostren diverses gràfiques de funcions gaussianes en la imatge adjunta.

Aplicacions[modifica | modifica el codi]

La primitiva d'una funció gaussiana és la funció error. Aquestes funcions apareixen en nombrosos contextos de les ciències naturals, ciències socials, matemàtiques i enginyeria. Alguns exemples:

En pàgines d'Internet que presten el servei de compra i venda de béns i serveis, molts pseudoestadísticos oferixen programari fraudulent que segons els seus venedors, es basa en la campana de Gauss para predir el nombre guanyador de la loteria oferint fins al 100% d'efectivitat. És una modalitat d'estafa basada en la falta de coneixement de les mates.