Funció matemàtica

En vermell representació gràfica d'una funció f en el Pla cartesià. L'eix horitzontal en blau representa les dades d'entrada o l'orígen x i l'eix vertical en groc representa la sortida o resultat de manera que el gràfic es compon de parells ordenats (x,f(x)).

Intuïtivament, una funció és una «transformació» d'un objecte en un altre objecte. Així, hi ha funcions que transformen nombres en nombres (per exemple els polinomis, les funcions trigonomètriques...), funcions que transformen formes geomètriques en formes geomètriques (per exemple les rotacions, translacions, homotècies...), funcions que transformen una forma geomètrica en un nombre (per exemple la llargària d'un segment, l'àrea delimitada per un polígon...) i, en general, funcions que transformen elements d'un conjunt de sortida A en elements d'un conjunt d'arribada B.

Una funció, una aplicació o un mapatge f és una relació entre un conjunt donat X (el domini) i un altre conjunt d'elements Y (el codomini) de manera que a cada element x del domini li correspon un únic element del codomini f(x). Es denota per:

$f \colon X \to Y \,$

Habitualment, el terme funció s'utilitza quan el codomini són valors numèrics, reals o complexos. Llavors es parla de funció real o funció complexa mentre que a les funcions entre conjunts qualssevol se les anomena aplicacions.

Definició

Una funció és una terna (A,B,f), on A i B són dos conjunts qualssevol i f és una correspondència entre aquests dos conjunts, és a dir, un subconjunt del producte cartesià $AxB$, que compleix:

$\forall (x,y)\in f$ , si $(x,z) \in f \Rightarrow y = z$

És a dir, a un mateix element del conjunt A li correspon un únic element del conjunt B. Segons aquesta definició, doncs, si considerem la terna $\left( \mathbb{R},\mathbb{R},\left\{ \left( x, y\right) \in \mathbb{R}^{2} : x^{2}+y^{2}=k^{2} \right\} \right)$ per a un valor fixat $k\in \mathbb{R}$, és a dir, la circumferència de radi k definida com una ónció entre dos cossos de nombres reals, no és una funció, ja que cada element del primer conjunt, com el punt 0, apareix en dues de les parelles de la correspondència: (0,k) i (0,-k).

Si $(a,b)\in f$ direm que b és la imatge de a, cosa que notarem com $f(a)=b$, i que a pertany a l'antiimatge de b (cal notar que, per la definició, b pot ser imatge de més d'un element de A, però a no pot tenir més d'una imatge).

Generalment, una funció o aplicació se simbolitza:

$f\colon \Omega \subseteq A \to B$

on $\Omega$ és el domini de la funció, és a dir, el conjunt de valors de A on f està definida.

El primer que utilitzà la paraula funció (del llatí functo: "complir, executar") fou Leibniz (1646-1716). La definició formal es deu a Dirichlet (1805-1859).

Notació i nomenclatura

Al domini també se l'anomena conjunt d'entrada o conjunt inicial. Es denota per ${\rm dom}(f)\,$ o ${\rm dom}_f\,$. Als elements del domini se'ls anomena habitualment argument de la funció.

En codomini, també anomenat, conjunt d'arribada, conjunt final o rang de f se li denota per

${\rm codom}(f)\,$ o ${\rm codom}_f$

Cal assenyalar que el terme rang és ambigu en la literatura, ja que pot fer referència tant al codomini com al conjunt imatge. Per això, és aconsellable usar el terme codomini.

Si x és un element del domini a l'element del codomini assignat per la funció i denotat per f (x) se l'anomena valor o imatge de la funció f de x Al subconjunt del codomini format per tots els valors o imatges se l'anomena imatge, abast o recorregut de la funció. Es denota per ${\rm im}(f)\,$ o ${\rm im}_f\,$ o $f(X)\,$.

$Im(f) = f(X):= \left\{y \in Y \;|\; \exists x \in X, \; f(x)=y\right\}$

Una preimatge d' $y \in Y$ és algun $x\in X$ tal que $f(x)=y\,$.

Recordeu que haver alguns elements del codomini que no siguin imatge d'un element del domini, però que cada element del domini és preimatge d'almenys un i només un element del codomini.

Exemples

Funció amb domini X i Rang Y

• La funció definida por $f(x)=x+1\,$, té com a domini, codomini i imatge a tots els nombres reals ($\mathbb {R}$).
• Per a la funció $g \colon {\mathbb{R}} \to {\mathbb{R}}$ tal que $g(x)=x^2\,$, en canvi, si bé el seu domini i codomini són iguals a $\mathbb{R}$, només tindrà com a imatge dels valors compresos entre 0 i + ∞.

A la figura es pot apreciar una funció $f \colon X \to Y \,$, amb

${\rm D}_f = X = \{1, 2, 3,4\} \,$

${\rm C}_f \ = \; Y = \{a, b, c, d \} \,$

Tingueu en compte que a cada element de X li correspon un únic element de Y. A més, l'element a de Y no té origen, i l'element b en té dos (l'$1$ y el $4$). Finalment,

${\rm Im}_f = \{b, c, d\}\subseteq Y.$

Aquesta funció representada com a relació, queda: $X\times Y = \{(1,b), (2,c), (3,d), (4,b) \}$

Tipus de funcions

Funció exhaustiva (suprajectiva)

Exemple de funció exhaustiva.

En matemàtiques, una funció $f \colon X \to Y \,$ és una funció exhaustiva (epijectiva, suprajectiva o surjectiva), si està aplicada sobre tot el codomini, és a dir, quant la imatge $Im_f=Y\,$.

Formalment,

$\forall y\in Y : \exists x\in X,\ f(x) = y$

Funció injectiva

Exemple de funció injectiva.

En matemàtiques, una funció $f \colon X \to Y \,$ és una funció injectiva o un és a un si per cada Imatge de $f\,$ li correspon un únic origen del domini.

Formalment,

$\forall x_1,x_2 \in X : f(x_1) = f(x_2) \rarr x_1 = x_2,$ que és equivalent a,

$\forall x_1,x_2 \in X : x_1 \neq x_2 \rarr f(x_1)\neq f(x_2)$

Una funció injectiva compleix la propietat d'injectivitat.

Funció bijectiva

Exemple de funció bijectiva.

En matemàtiques, una funció $f \colon X \to Y \,$ és una funció bijectiva si és al mateix temps injectiva i exhaustiva.

Formalment,

$\forall y\in Y : \exists !\ x\in X,\ f(x) = y$

Representació de funcions

Les funcions es poden presentar de diferents maneres:

• usant una relació matemàtica descrita mitjançant una expressió matemàtica: equacions de la forma $y=f(x)$. Quan la relació és funcional, és a dir satisfà la segona condició de la definició de funció, es pot definir una funció que es diu definida per la relació, A menys que s'indiqui el contrari, se suposa en aquests casos que el domini és el major possible (respecte a inclusió) i que el codomini són tots els Reals. El domini seleccionat es diu el domini natural, de la funció.

Exemple: y = x +2. Domini natural és tots els reals.

Exemple: "Per a tot x, nombre enter, y val x més dues unitats".

• Com tabulació: taula que permet representar alguns valors discrets de la funció.

Exemple: X|-2 -1 0 1 2 3 I|0 1 2 3 4 5

Com parells ordenats: parells ordenats, molt usats en teoria de grafs.

Exemple: A = {(-2, 0), (-1, 1), (0, 2), (1, 3), ... (X, x +2)}

Com gràfica: gràfica que permet visualitzar les tendències en la funció. Molt utilitzada per a les funcions contínues típiques del càlcul, encara que també n'hi ha per a funcions discretes.

5						X
4					X
3				X
2			X
1		X
0	X
y / x	-2	-1	0	1	2	3

Història

Les funcions abans de Leibniz

Històricament es pot considerar que alguns matemàtics preveieren i s'acostaren a una formulació moderna del concepte de funció. Un d'ells fou Oresme (1323–1382) . . . La seva teoria sembla contenir nocions generals de quantitats variables independents i dependents. Ponte també subratlla que "L'emergència del concepte de funció com a entitat matemàtica individualitzada es remunta als inicis del càlcul infinitesimal".

Vegeu també

• Funció real
• Funció discreta
• Domini
• Funció injectiva
• Funció bijectiva
• Funció exhaustiva

Enllaços externs

• «Entrada "funció"». Enciclopèdia.cat.
• «The Wolfram Functions Site dóna fórmules i visualitzacions de moltes funcions matemàtiques]» (en anglès).
• «Shodor: Function Flyer, un applet Java interactiu per a gràfiques i explorar diverses funcions]» (en anglès).
• «xFunctions, un applet Java per explorar diverses funcions de manera gràfica» (en anglès).
• «Draw Function Graphs, online drawing program for mathematical functions]» (en anglès).
• «Functions from cut-the-knot» (en anglès).
• «Function at ProvenMath» (en anglès).
• «Comprehensive web-based function graphing & evaluation tool» (en anglès).
• «FunctionGame, an educational interactive function guessing game» (en anglès).