Funció mesurable

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, les funcions mesurables són funcions entre espais mesurables amb unes propietats adequades. Les funcions que s'estudien en anàlisi matemàtica que no són mesurables, generalment es consideren casos patològics.

Si Σ és una σ-àlgebra cobre un conjunt X i Τ és una σ-àlgebra sobre Y, llavors una funció f : XY és measurable Σ/Τ i l'antiimatge de cada conjunt de Τ és a Σ.

Per convenció, si Y és algun espai topològic, tal com l'espai dels nombres reals \mathbb{R} o el dels nombres complexos \mathbb{C}, llavors es fa servir la Borel σ-algebra generada pels conjunts oberts de Y, tret que s'especifiqui altra cosa. L'espai mesurable (X,Σ) en aquest cas també s'anomena espai de Borel.

I pel context és clar què són Τ i/o Σ llavors la funció f es pot anomenar (i normalment s'anomena) Σ-mesurable o simplement mesurable.

Funcions mesurables especials[modifica | modifica el codi]

Si (X, Σ) i (Y, Τ) són esiapis de Borel, llavors de les funcions mesurables f també se'n diu funcións Borel. Les funcions contínues són Borel però no totes les funcions Borel són contínues. Però, tota funció mesurable és gairebé contínua; vegeu teorema de Luzin.

Les variables aleatòries són per definició funcions mesurables definides sobre espais mostrals.

Propietats de les funcions mesurables[modifica | modifica el codi]

  • La suma i el producte de dues funcions reals mesurables és mesurable.
  • Si una funció f és mesurable \Sigma_1/\Sigma_2 i una funció g és mesurable \Sigma_2/\Tau, llavors la composició g \circ f és mesurable \Sigma_1/T.[1]
  • El límit punt a punt de funcions mesurables és mesurable. (L'afirmació corresponent pel cas de funcions contínues necessita condicions més fortes que no pas la convergència punt a punt, com ara la convergència uniforme.)
  • Només les funcions mesurables poden ser Lebesgue integrades.
  • Una funció Lebesgue-mesurable és una funció real f : RR tal que per a cada nombre real a, el conjunt
\{x \in \R : f(x)>a \}
és un conjunt Lebesgue-mesurable. Una caracterització útil de les funcions Lebesgue mesurables és que f és mesurable si i només si mid{-g,f,g} és integrable per a totes les funcions no negatives g Lebesgue integrables.

Funcions No-mesurables[modifica | modifica el codi]

No totes les funcions són mesurables. Per exemple, si A és un subconjunt no mesurable de la recta real \R, llavors la seva funció característica 1_A(x) és no-mesurable.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Notes[modifica | modifica el codi]

  1. Billingsley, Patrick. Probability and Measure. Wiley, 1995. ISBN 0-471-00710-2.