Funció signe d'interrogació

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
La funció signe d'interrogació de Minkowski.

La funció signe d'interrogació, definida per Minkowski l'any 1904, és una funció matemàtica amb diverses propietats fractals inusuals, denotada per ?(x). La funció signe d'interrogació assigna irracionals quadràtics (arrels d'equacions quadràtiques amb coeficients racionals) a nombres racionals a l'interval unitat [0,1]. L'aplicació usa els coeficients de l'expansió en forma de fracció contínua del nombre irracional, que els assigna a l'expansió binària del racional.

Definició[modifica | modifica el codi]

Si [a_0; a_1, a_2, \ldots] és la representació contínua del nombre irracional x, aleshores:

{\rm ?}(x) = a_0 + 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{2^{a_1 + \cdots + a_n}}

D'on:

Si [a_0; a_1, a_2, \ldots, a_m] és la representació contínua d'un nombre racional x, aleshores:

{\rm ?}(x) = a_0 + 2 \sum_{n=1}^m \frac{(-1)^{n+1}}{2^{a_1 + \cdots + a_n}}

Cal notar que si a_m>1, aleshores [a_0; a_1, a_2, \ldots, a_m-1, 1] també és una representació com a fracció contínua vàlida pel mateix nombre, però les dues expressions donen valors idèntics per a ?(x).

Explicació intuïtiva[modifica | modifica el codi]

Considerem dues maneres diferents d'interpretar una cadena de bits que comenci per 0 com a nombre real a l'interval [0,1].

La primera manera d'interpretar la cadena és llegir-la com una expansió binària, després del primer zero. Així, per exemple, la cadena 001001001001001001001001... representa el nombre binari 0.010010010010..., és a dir, 2/7.

Una altra interpretació seria considerar la cadena com la fracció contínua [0;a1,a2,...], on els enters ai és el nombre d'ocurrències de cada caràcter (run-length encoding). La mateixa cadena de l'exemple, 001001001001001001001001... aleshores correspon a [0;2,1,2,1,2,1,...] = (√3-1)/2. (dos zeros, un u, dos zeros, un u, dos zeros, ...). Si la cadena acaba en un nombre infinit d'ocurrències del mateix bit, s'ignora i es talla la representació; això es formalitza en la següent identitat: [0;a1,...,an,∞]=[0;a1,...,an+1/∞]= [0;a1,...,an+0]=[0;a1,...,an].)

La funció signe d'interrogació en l'interval [0,1] es pot entendre l'assignació de la segona interpretació de la cadena a la primera interpretació de la mateixa cadena. En l'exemple considerat, es dóna la igualtat:

?\left(\frac{\sqrt3-1}{2}\right)=\frac{2}{7}.

Definició recursiva per a arguments racionals[modifica | modifica el codi]

Per a nombres racionals en l'interval unitat, la funció també es pot definir recursivament; si p/q i r/s són fraccions irreductibles tals que |ps − rq| = 1 (és a dir, si són elements adjacents d'una columna de la seqüència de Farey) aleshores

?\left(\frac{p+r}{q+s}\right) = \frac12 \left(?\bigg(\frac pq\bigg) + {}?\bigg(\frac rs\bigg)\right)

Utilitzant els casos base:

?\left(\frac{0}{1}\right) = 0 \quad \mbox{ i } \quad ?\left(\frac{1}{1}\right)=1,

aleshores és possible computar ?(x) per a qualsevol racional x, començant per la seqüència de Farey d'ordre 2, després 3, etc.

Si p_{n-1}/q_{n-1} i p_{n}/q_{n} són dos convergents successives d'una fracció contínua, aleshores la matriu

\begin{pmatrix} p_{n-1} & p_{n} \\ q_{n-1} & q_{n} \end{pmatrix}

determinant ±1. Una matriu d'aquestes és un element del grup S^*L(2,Z), el grup de matrius d'ordre 2 amb determinant ±1.

Propietats de ?(x)[modifica | modifica el codi]

?(x) - x
?(x) - x

La funció signe d'interrogació és una funció monòtona estrictament creixent i contínua, però no absolutament contínua. La derivada no està definida pels nombres racionals, però, donat que els racionals són un conjunt de mesura zero, aquest fet no contradiu la continuïtat no-absoluta de la funció. En el sentit clàssic, no té una derivada ben definida sobre els irracionals; no obstant, hi ha diverses construccions possibles per a les mesura que, quan s'integren, donen la funció signe d'interrogació. Un exemple d'aquest tipus de construcció és la que s'obté mesurant la densitat dels nombres de Farey a la recta real. La mesura de la funció és l'exemple prototípic de les mesures multi-fractals.

La funció ?(x) envia nombres racionals a nombres racionals diàdics, és a dir, a aquells que tenen una representació binària finita, com es pot provar per inducció a partir de la construcció recursiva anterior. Envia irracionals quadràtics a nombres racionals no-diàdics.

És una funció imparella, i satisfà l'equació funcional: ?(x + 1) = ?(x) + 1. Per tant, x→(?(x) − x) és funció imparella de període u. Si ?(x) és irracional, aleshores x és, un nombre algebraic de grau major que dos, o un nombre transcendent.

La funció signe d'interrogació és un cas especial de les corbes fractals conegudes com a corbes de De Rham.

Autosimetria[modifica | modifica el codi]

Visualment, la funció signe d'interrogació és clarament autosimilar. Es pot formar un monoide d'autosimilaritats pels operadors S i R, on S encongeix la funció a la meitat del seu valor, és a dir:

[S?](x) = ?\left(\frac{x}{x+1}\right) = \frac{?(x)}{2}

i R, que és el reflex:

[R?](x) = ?(1-x) = 1-?(x)\,.

Les dues identitats es compleixen per tot x\in [0,1]. Es poden combinar repetidament, formant un monoide. Un element general del monoide és, per tant:

S^{a_1} R S^{a_2} R S^{a_3} \cdots

per a_1, a_2, a_3, \ldots nombres naturals. Cadascun d'aquests elements descriu una autosimilaritat de la funció signe d'interrogació.

Aquest monoide s'anomena a vegades el monoide de duplicació de període; totes les corbes fractals tenen una autosimetria, descrita precisament per aquest monoide (les corbes de De Rham és la categoria de corbes d'aquest tipus).

Cal notar també que els elements del monoide estan en correspondència amb els racionals, mitjançant la identificació de a_1, a_2, a_3, \ldots amb la fracció contínua [0; a_1, a_2, a_3, \ldots]. Donat que ambdues:

S: x \mapsto \frac{x}{x+1}
T: x \mapsto 1-x

són transformacions de Möbius amb coeficients enters, el monoide pot ser considerat com un subconjunt del grup modular PSL(2,Z).

Inversa[modifica | modifica el codi]

La funció ?(x) és invertible, i la funció inversa ha atret l'atenció de diversos matemàtics, en particular John Conway, que utilitza com a notació per representar la inversa ?−1(x) com una x amb una caixa dibuixada al voltant. Si en comptes d'aquesta notació (que per característiques tècniques, no es pot reproduir en aquest article), utilitzem la següent: □(x), podem computar la funció caixa de Conway com a la codificació de l'expansió binària de (x-\lfloor x \rfloor)/2, on \lfloor x \rfloor denota la funció d'arrodoniment per defecte. A la dreta del signe decimal, hi haurà n1 0's, seguits de n2 1's, després n3 0's, i així successivament.

Tenim: n_0 = \lfloor x \rfloor. Aleshores,

\Box(x) = [n_0; n_1, n_2, n_3, \ldots],

on el terme de la dreta és una fracció contínua.

Referències[modifica | modifica el codi]

Actuals:

Històriques:

  • (alemany) H. Minkowski, Verhandlungen des III. internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg, (1904) Berlin.
  • (francès) A. Denjoy, Sur une fonction réelle de Minkowski, J. Math. Pures Appl. 17 (1938) p105-151.