Funció theta

En matemàtiques, les funcions theta de Jacobi són funcions especials útils en l'anàlisi complexa. Les funcions $\vartheta_1 (z, q) \vartheta_2 (z, q) \vartheta_3 (z, q) \vartheta_4 (z, q)$ que va ser presentat pel matemàtic alemany Carl Gustav Jacob Jacobi en la teoria de la funció el·líptica el 1829. Són definides respectivament per les sèries

$\vartheta_1(z,q)=2q^{1/4} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n q^{n(n+1)} \sin[(2n+1)z],$

$\vartheta_2(z,q)=2q^{1/4} \sum_{n=0}^\infty q^{n(n+1)} \cos[(2n+1)z],$

$\vartheta_3(z,q)=1+ 2\sum_{n=1}^\infty q^{n^2} \cos (2nz),$

$\vartheta_4(z,q)=1+ 2\sum_{n=1}^\infty (-1)^n q^{n^2} \cos (2nz),$

dove $q \in \Bbb{R}$ e $q<1$. Les sèries són convergents en el seu conjunt pla complex, és a dir, per a $z \in \Bbb{C}$.

La importància de les funcions theta de Jacobi en la teoria de funcions el·líptiques ve de la possibilitat d'expressar totes les funcions el·líptiques de Jacobi com el quocient de dues funcions theta (vegeu les fórmules 16.36.3-16.36.7 d'Abramowitz i Stegun, i prova de Whittaker i Watson).

Bibliografia

• C. G. J. Jacobi Gesammelte Werke (Berlin : G. Reimer, 1881-1891) (alemany)
• E. Pascal Teoria delle funzioni ellittiche (Milano: U. Hoepli 1896) (capitolo 1)
• H. Hancock Lectures on the theory of elliptic functions (New York: J. Wiley & sons, 1910) (capitolo 10) (anglès)
• E. T. Whittaker e G. N. Watson A course of modern analysis (Cambridge University Press, 1915) (capitoli 21 e 22).(anglès)
• M. Abramowitz e I. Stegun «Handbook of Mathematical Functions» (Dover, 1972) p. 576 (anglès)