Funció theta de Ramanujan

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtica, la funció theta de Ramanujan generalitza la forma de les funcions theta de Jacobi, al mateix temps que conserva les seves propietats generals. En particular, el producte triple de Jacobi es pot escriure elegantment en termes de la funció theta de Ramanujan. La funció pren nom de Srinivasa Ramanujan, i va ser la seva última gran contribució a les matemàtiques.

Definició[modifica | modifica el codi]

La funció theta de Ramanujan està definida com:

f(a,b) = \sum_{n=-\infty}^\infty 
a^{n(n+1)/2} \; b^{n(n-1)/2}

per| ab |<1. La identitat del producte triple de Jacobi pren la forma

f(a,b) = (-a; ab)_\infty \;(-b; ab)_\infty \;(ab;ab)_\infty

Aquí, l'expressió ( a ; q ) n denota el símbol q-Pochhammer. Entre altres, les identitats que es poden obtenir s'inclouen

 f (q, q) = \sum_{n = - \infty}^\infty q^{n^2}=
\frac{(-q; q^2) _ \infty (q^2; q^2) _ \infty}
{(-q^2; q^2) _ \infty (q; q^2) _ \infty}

i

 f (q, q^3) = \sum_{n = 0}^\infty q^{n (n+1)/2}=
\frac{(q^2; q^2) _ \infty}{(q; q^2) _ \infty}

i

 f (-q,-q^2) = \sum_{n = - \infty}^\infty (-1)^nq^{n (3n-1)/2}=
(q; q) _ \infty

aquesta última es converteix en la funció d'Euler, que està estretament relacionada amb la funció eta de Dedekind.

Referències[modifica | modifica el codi]

  • W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Sèries , (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.
  • George Gasper and Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Sèries, 2nd Edition , (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96 , Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4.