Funcions i continuïtat

Funcions i continuïtat

Punts de discontinuïtat

Diem que una funció és contínua quan no té interrupcions a la gràfica. Una funció pot ser discontínua en un punt per diverses raons. Una classificació heurística de discontinuïtats és la següent:

• discontinuïtat evitable
• discontinuïtat de salt
• discontinuïtat asimptòtica
• discontinuïtat essencial

Continuïtat de les funcions elementals

Discontinuïtat evitable (existeixen els límits laterals i coincideixen)

Discontinuïtat de salt (existeixen els límits laterals i són diferents)

Discontinuïtat asimptòtica: hi ha una asímptota vertical ‎

Discontinuïtat essencial: un dels límits no existeix (o cap dels dos). Per exemple funcions amb infinites oscil·lacions, com f (x) = sin 1/x ‎

Les funcions "elementals":

$\sqrt x$

$x^n \,$

$sinx, cosx, arcsinx, arccosx,lnx \,$

$e^x \,$

són contínues (atenció, però, a tan x). Les funcions definides amb "fórmules algebraiques" són contínues excepte potser quan s'anul·la un denominador, apareix un radical o un logaritme d'argument negatiu o si apareix una expressió indeterminada quan es vol avaluar la funció. Atenció al concepte de fórmula algebraica:

$\ f(x)= x$

no és una fórmula algebraica sinó una funció definida a trossos.

Exemple: $\ f(x)= 1/x$

‎

Teoremes sobre funcions contínues

Teorema de Bolzano:

Donada f (x) contínua definida sobre [a, b], i tal que f (a) i f (b) tenen signes contraris, existeix $( E \in [a, b])$ tal que f (E) = 0 Nota: E no té perquè ser únic

‎

Teorema del valor intermedi (o propietat de Darboux):

Suposem donada f (x) contínua definida sobre [a, b] i dos punts x1, x2 en aquest interval tals que f (x1) < f (x2). Aleshores, si y és tal que f (x1) < y < f (x2), existeix E entre x1 i x2 tal que f (E) = y. Dit d'una altra manera, si una funció contínua pren dos valors, llavors també pren tots els valors intermedis. Evidentment això és simplement una altra versió del teorema de Bolzano. Observació: el valor E no té perquè ser únic.

Teorema de Weierstrass:

Donada f (x) contínua sobre [a, b], existeixen M i m (nombres reals) i x1 i x2 de l'interval tals que f (x1) = M, f (x2) = m i m ≤ f (x)≤ M per a tota x de l'interval.

‎

Dit d'una altra manera, el teorema de Weierstrass afirma que f ateny un valor màxim i un valor mínim dintre de l'interval. La hipòtesi que l'interval sigui tancat és fonamental: la funció f (x) = 1/x és contínua a l'interval obert (a, b) però no té màxim (de fet tampoc té mínim).

Aplicacions

Mètode de bissecció per a resoldre equacions

Considerem l'equació x = cos x. És fàcil veure geomètricament que aquesta equació té una solució:

‎

però se sap que aquesta solució no es pot expressar amb una fórmula "tancada" utilitzant funcions elementals. Interessa calcular aquesta solució amb tanta aproximació com vulguem.

Escrivim x = cos x com f (x) = x − cos x = 0 i apliquem el mètode de bissecció:

• localitzem una arrel (solució) mitjançant Bolzano. Per exemple, si prenem a1 = 0 b1 = pi/2 tenim f (a1) = −1 < 0 i f (b1) = pi/2 > 0, per tant entre a1 i b1 hi ha una arrel.
• calculem el punt mitjà c = (a1 +b1)/2 i mirem a quin dels dos subintervals tenim signes diferents de la funció en els extrems.
• anomenem el nou interval [a2, b2] i repetim el pas anterior fins que obtenim la precisió desitjada (l'error en el pas n és menor

o igual que (b1 − a1)/2^n−1).

Una modificació del mètode de bissecció, que ja hem fet servir anteriorment, és dividir l'interval en 10 parts i localitzar a quin subinterval està l'arrel. Amb aquest mètode a cada pas obtenim més precisió, perquè si per exemple b1 −a1 = 1 a cada pas obtenim un decimal més (error ≤ 0.1 en el primer pas), mentre que en el cas de bissecció només tenim error ≤ 0.25 després de dos passos.