Gradient

De Viquipèdia

Un gradient d'un camp escalar en un punt és el vector definit com l'únic que permet trobar la derivada direccional en qualsevol direcció com a

$\frac{\partial \phi}{\partial n} = (\rm grad \phi)\cdot \hat n$

on $\hat n$ és un vector unitari i $\partial\phi/\partial n$ la derivada direccional de $φ$ en la direcció de $\hat n$ (que informa sobre la raó de variació del camp escalar al desplaçar-nos segons aquesta direcció):

$\frac{\partial \phi}{\partial n} \equiv \lim_{\epsilon\to 0} \frac{\phi(\vec r + \epsilon \hat{n})-\phi(\vec r)}{\epsilon}$

Una forma equivalent de definir el gradient és com l'únic vector que, multiplicat per qualsevol desplaçament infinitesimal, dóna el diferencial del camp escalar

$d\phi = \phi\left(\vec r + d\vec r\right)-\phi\left(\vec r\right) = \nabla\phi\cdot d\vec r$

Amb la definició anterior, el gradient està caracteritzat de forma unívoca.

El gradient s'expressa alternativament mitjançant l'ús de l'operador nabla

${\rm grad}\phi = \nabla\phi$

[edita] Expressió en diferents sistemes de coordenades

A partir de la definició de gradient, es pot trobar l'expressió en diferents sistemes de coordenades. Així, en coordenades cartesianes, és

$\nabla \phi = \begin{pmatrix} {\frac{\partial \phi}{\partial x}}, {\frac{\partial \phi}{\partial y}}, {\frac{\partial \phi}{\partial z}} \end{pmatrix}$

En un sistema de coordenades ortogonals, el gradient necessita els factors d'escala, mitjançant l'expressió

$\nabla\phi = \frac{1}{h_1}\frac{\partial \phi}{\partial q_1}\hat{q}_1 +\frac{1}{h_2}\frac{\partial \phi}{\partial q_2}\hat{q}_2+ \frac{1}{h_3}\frac{\partial \phi}{\partial q_3}\hat{q}_3$

Per coordenades cilíndriques ( $h ρ = h z = 1$ , $h_\varphi=\rho$ ) resulta

$\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial \rho}\hat{\rho} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\hat{\varphi}+ \frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{z}$

i finalment per coordenades esfèriques ( $h r = 1$ , $h θ = r$ , $h_\varphi=r {\rm sin}\theta$ )

$\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial r}\hat{r} +\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\hat{\theta}+ \frac{1}{r\,{\rm sin}\,\theta}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\hat{\varphi}$

[edita] Exemple

Donada la funció $φ = 2 x + 3 y 2 - sin(z)$ , el seu gradient associat és:

$\nabla \phi = \begin{pmatrix} {\frac{\partial \phi}{\partial x}}, {\frac{\partial \phi}{\partial y}}, {\frac{\partial \phi}{\partial z}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {2}, {6y}, {-\cos(z)} \end{pmatrix}.$