Grup abelià

Un grup abelià o commutatiu és un conjunt $G$ amb una operació $+$ , suma,

$+:G \times G \rightarrow G$

$(x, y) \mapsto x + y$

que compleix les propietats:

Associativa: Per a tot $a, b, c \in G$ , $(a + b) + c = a + (b + c)$ .
Commutativa: Per a tot $a, b \in G$ , $a + b = b + a$ .
Existeix un element neutre $e \in G$ tal que $a + e = a$ , per a tot $a \in G$ .
Per a cada $a \in G$ existeix un element invers o oposat $a'\in G$ tal que $a + a' = 0$ .

Si l'operació s'indica amb el símbol $+$ , tal com hem fet, l'element neutre s'anomena zero, i es representa amb el símbol $0$ , i l'oposat de $a$ es representa escrivint $-a$ . Si l'operació s'indica amb un altre símbol, l'element neutre s'acostuma a dir unitat i es representa amb el símbol $1$ . Aleshores l'invers de $a$ es representa escrivint $a^{-1}$ o $1/a$ .