Grup cíclic

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Un grup és cíclic pot ser generat per algun element. Això vol dir que hi ha, almenys, un element g del grup, que es diu generador de manera que tots els elements del grup són de la forma n g (en notació additiva) o gn (en notació multiplicativa), per un cert nombre enter n. Naturalment, 0 = 0 g i g = 1 g (en notació additiva) o 1 = g^{0} i g = g^{1} (en notació multiplicativa).

Exemples[modifica | modifica el codi]

  • L'exemple més obvi és el grup additiu de l'anell \mathbb Z dels nombres enters: es tracta d'un grup cíclic infinit i 1 i -1 en són els únics generadors.
  • En canvi, els grups multiplicatius de les unitats dels anells \Z / (n) són cíclics si, i només si, el nombre n és d'una d'aquestes quatre formes: 2, 4, pk o 2pk. En la teoria de nombres tradicional, els generadors dels grups multiplicatius de les unitats dels anells \Z / (n) es diuen arrels primitives mòdul n.

Estructura[modifica | modifica el codi]

  • El fet més important quant als grups cíclics és que qualsevol grup cíclic infinit és isomorf al grup additiu de l'anell ℤ dels nombres enters. A més, qualsevol grup cíclic finit d'ordre n és isomorf al grup additiu de ℤ/nℤ de congruències mòdul n.
  • Això implica que l'estudi dels grups cíclics es redueix a l'estudi dels grups additius de ℤ i ℤ/nℤ.
  • D'altra banda, tot grup abelià finitament generat és isomorf al producte directe d'un nombre finit de grups cíclics.

Propietats[modifica | modifica el codi]

  • De l'isomorfisme mencionat abans en resulta que tot grup cíclic és un grup abelià.
  • Tot grup d'ordre un nombre primer és cíclic.
  • Tots els subgrups d'un grup cíclic són cíclics. Si \mathbf{G} és un grup cíclic d'ordre n, aleshores, per cada divisor d de n hi ha exactament un subgrup d'ordre d, el qual, si g és un generador de \mathbf{G}, és generat per g^{\frac{n}{d}}. El grup \mathbf{G} no té cap altre subgrup d'ordre d.
  • Tot quocient d'un grup cíclic és cíclic.
  • Sigui g és un generador d'un cert grup cíclic \mathbf{G} d'ordre n. Aleshores g^k també n'és un generador si, i només si, hi ha m \in \mathbb Z que fa g^{km} = g. Aleshores km \equiv 1 \pmod{n}.
  • Si \mathbf{G} és un grup cíclic d'ordre n, aleshores té \phi(n) generadors (\phi és la funció Fi d'Euler).
  • Siguin \mathbf{G}_1 i \mathbf{G}_2 dos grups d'ordres respectius n_1 i n_2. Aleshores, \mathbf{G}_1 \times \mathbf{G}_2 és cíclic si, i només sí, \mathbf{G}_1 i \mathbf{G}_2 ho són i \mbox{m.c.d.}\left(n_1, n_2\right) = 1.
  • Tot subgrup finit del grup multiplicatiu d'un cos és cíclic.

Referències[modifica | modifica el codi]

Article cyclic group a PlanetMath.org.