Grup de Klein

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En àlgebra, el grup de Klein o 4-grup de Klein (de vegades designat V perquè el seu introductor, el matemàtic alemany Felix Klein l'anomenà Vierergruppe «4-grup») és un grup abelià de quatre elements isomorf a C2 × C2, el producte directe de dues còpies del grup cíclic d'ordre dos.

El grup de Klein és el grup d'ordre (és a dir cardinalitat) més petit que no és cíclic. De fet hi ha dos grups no isomorfs d'ordre quatre: El de Klein i C4, el cíclic d'ordre quatre. Quatre és l'ordre més petit per al qual això passa. Podeu veure-ho a la llista de grups petits.

Si designem els elements de V com V = { e, a, b, c } la taula del grup és la següent:

e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e

On observem que e és l'element neutre de l'operació del grup, que hem designat per ∗.

A la taula hi podem, a més, observar les següents propietats:

  • La taula és simètrica i el grup és abelià.
  • Sigui x un element qualsevol del grup es compleix xx = e.
    • Així doncs per a qualsevol element de V, el seu simètric per l'operació ∗ és ell mateix.
    • A més, els elements x que no són el neutre xe, tenen ordre dos. Com que no n'hi ha cap d'ordre quatre el grup no és cíclic.

A més a més es coneixen altres propietats del grup de Klein:

  • És isomorf al producte directe de dos grups cíclics d'ordre dos C2×C2. Com que els grups cíclics sovint s'identifiquen amb el grup additiu de les classes de residus (ℤ/nℤ, +); el grup de Klein també es denota ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ, o alguna vegada ℤ2×ℤ2. A més, com que en aquest cas el producte directe es correspon amb la suma directa (és un producte cartesià finit) també s'escriu ℤ/2ℤ ⊕ ℤ/2ℤ. Si els elements de ℤ/2ℤ els escrivim
\Z/2\Z = \bigl\{ \bar 0 ,\bar 1\bigr\}
com és habitual, llavors l'isomorfisme entre el grup V i ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ només cal que porti l'element neutre e a l'element neutre (\bar 0 , \bar 0) de ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ. La taula del grup queda així:
\begin{array}{|c||c|c|c|c|} \hline + & (\bar 0,\bar 0) & (\bar 1,\bar 0) & (\bar 1,\bar 1) & (\bar 0 , \bar 1) \\
\hline 
(\bar 0 ,\bar 0) & (\bar 0,\bar 0) & (\bar 1,\bar 0) & (\bar 1,\bar 1) & (\bar 0 , \bar 1) \\
(\bar 1 ,\bar 0) & (\bar 1,\bar 0) & (\bar 0,\bar 0) & (\bar 0,\bar 1) & (\bar 1 , \bar 1) \\
(\bar 1 ,\bar 1) & (\bar 1,\bar 1) & (\bar 0,\bar 1) & (\bar 0,\bar 0) & (\bar 1 , \bar 0) \\
(\bar 0 ,\bar 1) & (\bar 0,\bar 1) & (\bar 1,\bar 1) & (\bar 1,\bar 0) & (\bar 0 , \bar 0) \\ \hline
\end{array}
  • Com hem observat anteriorment, els tres elements d'ordre dos del grup de Klein són intercanviables. El grup d'automorfismes de V és el grup simètric de les permutacions d'aquests tres elements.
  • Sabem pel teorema de Cayley que hom pot veure el grup de Klein com a subgrup del grup simètric S4. En concret, (usant la notació de cicles com apareix a l'article grup simètric) és
V = { Id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3) }
En aquesta forma és de fet un subgrup normal del grup alternat A4 i per tant també de S4. De fet, és el kernel d'un epimorfisme que va de S4 a S3.

En teoria de Galois, l'existència d'aquest subgrup de S4 justifica la resolubilitat de l'equació quàrtica per radicals.