Grup lineal general

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, el grup lineal general de mida n sobre un cos K o un anell A és el conjunt de les matrius invertibles quadrades de mida n×n amb coeficients a K o A amb l'operació de composició o multiplicació de matrius usual. És un grup que es denota GL(n,A) o GLn(A).

La composició o multiplicació de dues matrius A i B és:

 (AB)_{i,j} = \sum_{r=1}^n A_{i,r}B_{r,j}

on A_{i,j} indica les coordenades de A a la casella i,j.

El grup lineal és grup en tant que:

Relació amb altres estructures algebràiques[modifica | modifica el codi]

L'existència d'isomorfismes entre el grup lineal general i altres estructures algebraiques, així com l'existència de subgrups, ens permet analitzar i resoldre analíticament, fent servir nombres, gran quantitat de problemes, així com entendre millor aquestes estructures.

Espais vectorial[modifica | modifica el codi]

El conjunts dels automorfismes d'un espai vectorial V de dimensió finita n sobre un cos K és isomorf al GL(n,K), i que molt sovint es denota directament GL(V). Aquest isomorfisme no és natural perquè cal escollir una base que ens permet associar a cada automorfisme una matriu invertible.

Subgrups[modifica | modifica el codi]

Grup lineal especial[modifica | modifica el codi]

El grup especial lineal d'ordre n, que denotem SL(n,A), és el conjunt de les matrius amb determinant 1 amb la composició. SL(n,A) és un subgrup normal de GL(n,A).

Subgrup diagonal[modifica | modifica el codi]

El conjunt de les matrius diagonals de rang n és un subgrup de GL(n,A). Pot subdividir-se en més subgrups com ara les matrius escalars (múltiples per un escalar de la matriu identitat.

Grups clàssics[modifica | modifica el codi]

Els anomenats grups clàssics són subgrups de GL(n,A) que es caracteritzen per poder representar algun tipus d'aplicació que conserva una forma bilineal o hermítica com ara els productes escalars o unitaris: