Hipocicloide

Construcció d'una hipocicloide

Una hipocicloide és una corba plana transcendint, que és la trajectòria d'un punt fixat en una circumferència que roda sense lliscar sobre un altre circumferència anomenada directriu i dins d'aquesta. Es tracta per tant d'un cas particular de corba cicloïdal.

• Exemples de hipocicloides
• 

  k=3 - una deltoide

• 

  k=4 - una astroide

• 

  k=5

• 

  k=6

• 

  k=2.1

• 

  k=3.8

• 

  k=5.5

• 

  k=7.2

Etimologia i història

La paraula és una extensió de cicloide, inventada el 1599 per Galileo Galilei, i té la mateixa etimologia: ve del grec hupo (sota), kuklos (cercle, roda) i eidos (forma, «semblant a»).

La corba mateixa va ser estudiada per Albrecht Dürer el 1525, Rømer el 1674 (que la va batejar) i Daniel Bernoulli el 1725.

Definició matemàtica

Una hipocicloide pot ser definida per l'equació paramètrica següent:

$x(\theta) = (R-r) \cos \theta + r \cos (\frac{R-r}{r} \theta) \, \qquad(1)$

$y(\theta) = (R-r) \sin \theta - r \sin (\frac{R-r}{r} \theta) \, \qquad(2)$

on $R\,$ és el radi de la circumferència de base i $r\,$ el de la circumferència rodant. Amb $q={R \over r}$, per tant aquesta equació també es pot escriure:

$x(\theta) = r \left[(q-1) \cos \theta + \cos (q-1) \theta \right] \,$

$y(\theta) = r \left[(q-1) \sin \theta - \sin (q-1) \theta \right]\,$

Definició en el pla complex

Pot ser útil passar en notació complexa, $z = x + i y$ i s'obté l'equació següent:

$z(\theta)= (R-r)e^{i\theta} +r e^{-\frac{R-r}{r} i \theta}\,.$

Si es desitja ademés fer intervenir el temps t per expressar la velocitat a la qual es descriu el moviment, cal introduir les dues velocitats angulars $\omega_1=\frac{\theta}{t}=\frac{r}{R-r}\omega_2\,.$

La coordenada complexa del centre de la circumferència petita és simplement $(R-r) e^{i \omega_1 t}$ i la d'un punt de la circumferència petita respecte al seu centre $r e^{-i\omega_2 t}$. La suma d'aquests dos nombres complexos dóna llavors la coordenada complexa d'un punt de la circumferència petita respecte al centre de la gran.

Així i més generalment, es pot definir una hipocicloide per la seva equació en el pla complex:

$z(t)= r_1 e^{i\omega_1 t} +r_2 e^{-i\omega_2 t}\qquad$ amb la condició $\qquad r_1\omega_1=r_2\omega_2 \qquad\qquad(3)$

En efecte la condició $r_1\omega_1 t=r_2\omega_2 et$ expressa la igualtat de les longituds dels arcs de les circumferències petita i gran recorreguts durant el temps t pel punt de contacte i per tant indica que la circumferència petita no llisca en la seva rotació al si de la gran. Per això quan un punt de la circumferència petita, és a dir de la hipocicloide, entra en contacte amb la gran, la seva velocitat és nul·la la qual cosa correspon a un punt de retrocés.

Finalment, s'observa que la definició de l'equació (3) pot ser interpretada geomètricament d'una altra manera (propietat de la doble generació ) basant-se en la propietat commutativa de la suma de dos vectors i que la hipocicloide és també la suma d'un petit moviment circular $r_2$ al qual s'afegeix un gran moviment circular en sentit oposat $r_1$.

Propietats

La corba està formada per arcs isomètrics (anomenats arcs) separats per punts de retrocés. Si q és racional (i es pot per tant escriure q=a/b on a i b són enters), a representa el nombre d'arcs de la corba. També es poden veure aquestes dues magnituds de la manera següent:

• a representa el nombre de rotacions de la circumferència que roda necessàries per portar el punt mòbil a la seva posició de sortida
• b representa el nombre de voltes de la circumferència base necessàries a la circumferència que roda per tornar al punt de sortida.

Els punts de retrocessos s'obtenen per $\theta = \frac{2k \pi }{q}$. La longitud d'un arc és de $8 \frac{q-1}{q^2}R$.

Si q és enter, la longitud total de la corba val ${4 \over \pi}(1+{1 \over q})$ vegades la longitud de la circumferència base, i l'àrea total val $(1-{1 \over q})(1-{2 \over q})$ vegades la de la circumferència base.

El teorema de la doble generació prova que un hipocicloide és també una pericicloïde, és a dir la corba descrita per un punt d'una circumferència de radi r+R rodant sense lliscar sobre aquesta circumferència directora al continent.

Les petites oscil·lacions del pèndol de Foucault formen també una hipocicloide.

Vegeu també

• Quan el punt mòbil no està fixat sobre la circumferència que roda sinó a l'exterior o l'interior d'aquesta es parla llavors de hypotrocoide, que és un cas particular de trocoide. D'altra banda, l' espirògraf realitza hypotrocoides.
• Quan la circumferència mòbil gira fora de la circumferència directriu, la corba dibuixada s'anomena llavors epicicloide.
• Si R = 2r, la hipocicloide és un diàmetre de la circumferència base (veure el Teorema de La Hire).
• Si R = 3r, la hipocicloide és una deltoide. S'obté una figura idèntica si R = 3/2 x r. en Aquest Cas, es tracta també de l'envolupant del diàmetre de la circumferència que roda.
• Si R = 4r, l'hypocycloïde est une astroïde. On obtient une figure identique si R = 4/3 x r. Dans ce cas, il s'agit également de l'enveloppe du segment de longueur constante R dont les extrémités décrivent les axes d'un repère orthonormé.
• Si R = 4r, la hipocicloide és una astroide. S'obté una figura idèntica si R = 4/3 x r.

Bibliografia

• Marcel Berger, Géométrie (Tomo 1).
• Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009, ISBN 978-2-91-635208-4
• Petite encyclopédie de mathématique (Ed. Didier)
• Méthodes modernes en géométrie de Jean Fresnel

Enllaços externs

• Al lloc web MathCurve.com
• Une Applet que permet jugar amb els paràmetres de construcció d'una hipocicloide