Homeomorfisme local

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, i més específicament en topologia i àrees relacionades, un homeomorfisme local és un tipus especial d'aplicació entre espais topològics, que en preserva l'estructura local. Més precisament, és una aplicació que restringida a oberts prou petits és un homeomorfisme.

Els homeomorfismes locals són molt importants en geometria diferencial i en topologia algebraica, perquè són un concepte més general que inclou tant els difeomorfismes locals com els revestiments, i per la seva relació amb la teoria de feixos.


Definició[modifica | modifica el codi]

Siguin X i Y espais topològics. Una aplicació f: XY és un homeomorfisme local quan, per a cada punt xX, existeix un conjunt obert U contenint x tal que f(U) és un conjunt obert de Y i l'aplicació restringida f|U: Uf(U) és un homeomorfisme.


Exemples[modifica | modifica el codi]

  • L'aplicació exponencial f: CC, definida per f(z) = exp(z), és un homeomorfisme local (de fet, és un difeomorfisme local) que no és un homeomorfisme global, ja que no és injectiva (perquè f(z)=f(z+2kπi) per a k enter) ni suprajectiva (el punt zero no és un valor de la funció).
  • Si escrivim C* = C-{0}, l'aplicació f: C* → C*, definida per f(z) = zn, on n és un enter estrictament positiu, és un homeomorfisme local; només quan n=1 és un homeomorfisme, ja que altrament no és injectiva.
  • L'aplicació f: RS1 definida per f(t) = exp(2πit) (considerant S1C) és un homeomorfisme local no injectiu.
  • Si X és un espai topològic i A n'és un subconjunt, la inclusió AX és un homeomorfisme local sii A és obert.
  • Més generalment, si f: XY és un homeomorfisme local i AX és obert, llavors la restricció f|A: AY també és un homeomorfisme local.
  • Un revestiment és un homeomorfisme local suprajectiu, però el recíproc no és cert.


Propietats[modifica | modifica el codi]

La composició d'homeomorfismes locals és un homeomorfisme local.

Un homeomorfisme local és una aplicació contínua i oberta.

Si f: XY és un homeomorfisme local injectiu, llavors la bijecció induïda Xf(X) és un homeomorfisme. En particular, un homeomorfisme local bijectiu és un homeomorfisme.


Vegeu també[modifica | modifica el codi]


Referències[modifica | modifica el codi]

  • N. Bourbaki, Élements de mathématique. Topologie générale, Hermann, Paris, 1971.
  • William S. Massey, Algebraic topology: an introduction, 1967.