Hotel infinit

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La paradoxa de Hilbert de l'hotel infinit és una faula inventada pel matemàtic David Hilbert per tal d'il·lustrar les aparents contradiccions que apareixen al tractar amb conjunts infinits.

L'hotel amb infinites habitacions[modifica | modifica el codi]

Un equip de constructors volien fer un hotel: el més gran que s'hagués fet mai. Un dels constructors va dir: "Farem un hotel amb 10000 habitacions!", però ràpidament un altre replicà "Sí, però i si algú construeix un hotel amb 10001 habitacions? Aleshores el nostre ja no serà l'hotel més gran!". El primer s'ho va rumiar, i va dir: "Està bé, doncs en farem un de 10001 habitacions", però la resposta no tardà a arribar: "Aleshores sortirà algú i en farà un amb 10002 habitacions! No ho veus que això pot seguir així infinitament?". El primer s'ho va tornar a pensar i va dir "Ja està! En farem un amb infinites portes" (un conjunt numerable de portes).

L'hotel ple i un hoste més[modifica | modifica el codi]

Un cop construït l'hotel amb infinites portes, aquestes es van numerar: 1, 2, 3... Hi havia, doncs, una porta per cada nombre natural. Quan l'hotel es va obrir al públic, es va produir un èxit sense precedents: ràpidament s'ompliren totes les portes. Així que un dia es presentà un nou hoste, a la recerca d'habitació. L'hotel estava completament ple... però el recepcionista, que era molt espavilat, va idear una manera de recol·locar els hostes existents de manera que el nou hi capigués: va enviar cada hoste a l'habitació següent de la seva: l'hoste de la 1 a la 2, el 2 a la 3, etc. Tots els hostes tenien habitació, i a més quedava la primera lliure.

L'hotel ple i infinits hostes[modifica | modifica el codi]

Al cap d'uns dies es presentà un nou grup d'infinits hostes. Però el recepcionista, se les va enginyar altre cop i els va fer cabre a tots, després d'una redistribució dels hostes. Va enviar cada hoste a l'habitació de número el doble de l'actual. Així, l'1 aniria a la 2, el 2 a la 4, el 6 a la 12, etc. I quedarien infinites habitacions: totes les senars.

L'hotel ple i infinits grups d'infinits hostes[modifica | modifica el codi]

Finalment arribaren infinits grups d'infinits hostes, i el recepcionista, ja acostumat a aquesta mena de reptes, els va fer cabre altre cop. Primer, va fer sortir tots els hostes que ja hi havia. Després, es va adonar que, donat p, l'aplicació de \Z \to \Z que envia els enters  k \mapsto p^k, assignava habitació a cada persona de cada grup d'hostes. Primer, a cada grup d'hostes els donava un nombre primer (no hi ha problemes perquè n'hi ha infinits), i després numerava cada hoste de dins de cada grup. Finalment, enviava l'hoste número k del grup p a l'habitació p^k.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]