Identitat de Parseval

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En anàlisi matemàtica, la identitat de Parseval és un resultat fonamental sobre la suma de certes sèries obtingudes a partir de la sèrie de Fourier d'una funció. Geomètricament, es pot interpretar com una generalització del teorema de Pitàgores per a espais prehilbertians, és a dir, espais dotats d'un producte escalar, i possiblement de dimensió infinita.

Expressat de manera informal, la identitat estableix que la suma dels quadrats dels coeficients de Fourier d'una funció és igual a la integral de la funció al quadrat:

\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 \, dx,

on els coeficients de Fourier c n de ƒ vénen donats per

c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{e}^{-inx} \, dx.

Aquesta igualtat es compleix suposant que ƒ és una funció de quadrat integrable, o, expressat de manera més precisa, que f és de L2(−π,π). Un resultat similar és el teorema de Plancherel, que afirma que la integral del quadrat de la transformada de Fourier d'una funció és igual a la integral del quadrat de la funció mateixa. En una dimensió, per ƒL2(R),

\int_{-\infty}^\infty |\hat{f}(\xi)|^2\,d\xi = \int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\, dx.

La identitat es relaciona amb el teorema de Pitàgores en l'escenari més general d'un espai de Hilbert separable de la següent manera. Suposeu que H és un Espai de Hilbert amb el producte escalar 〈•,•〉. Sia (e n ) una base ortonormal de H; és a dir, la extensió lineal de e n és densa en H, i els en són mútuament orthonormals:

\langle e_m, e_n\rangle = \begin{cases}1&\mbox{si}\ m=n\\
0&\mbox{si}\ m \not= n.\end{cases}

Llavors la identitat de Parseval afirma que per a cada x  ∈ H,

\sum_n |\langle x, e_n\rangle|^2 = \|x\|^2.

Aixó és directament anàleg al teorema de Pitàgores, que afirma que la suma dels quadrats dels components d'un vector en una base ortonormal és igual a la longitud al quadrat del vector. Es pot recobrar la versió de sèrie de Fourier de la identitat de Parseval deixant que H sigui l'espai de Hilbert L2[−π,π;], i establint en = e−inx per nZ.

De forma més general, la identitat de Parseval es compleix en qualsevol espai amb producte interior, no només en espais de Hilbert separables. Així suposant que H és un espai amb producte interior. Sia B una base ortonormal de H; és a dir, un conjunt ortonormal que és total en el sentit que l'extenssió lineal de B és dens en H. Llavors

\|x\|^2=\langle x,x\rangle=\sum_{v\in B}\left|\langle x,v\rangle\right|^2.

L'exigència que B és total és necessària per a la validesa de la identitat. Si B no és total, llavors la igualtat en la identitat de Parseval s'ha de reemplaçar per ≥, així dóna la desigualtat de Bessel. Aquesta forma general de la identitat de Parseval es pot demostrar utilitzant el teorema de Riesz–Fischer.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  • Johnson, Lee W.; Riess, R. Dean. Numerical Analysis. segona edició. Reading, Massa.: Addison-Wesley, 1982. ISBN 0-201-10392-3. .
  • Titchmarsh, E (1939), The Theory of Functions (2nd ed.), Oxford University Press.
  • Zygmund, Antoni (1968), Trigonometric series (2nd ed.), Cambridge University Press (published 1988), ISBN 978-0521358859.