Identitats de Green

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

A matemàtiques, les Identitats de Green són un conjunt de desigualtats en càlcul vectorial. Anomenades així en honor del matemàtic George Green, el mateix que va descobrir el Teorema de Green.

Primera Identitat de Green[modifica | modifica el codi]

Aquesta identitat es deriva del Teorema de la divergència aplicat a un camp vectorial \mathbf{F}=\psi\nabla\varphi .

Si \phi és una funció contínuament diferenciable de classe C 2 i \psi és una altra funció contínuament diferenciable, però de classe C 1 en una regió U , aleshores:

\int_U\psi\Delta\varphi\, dV =\oint_{\partial U}\psi\left (\nabla\varphi\cdot n\right)\, dS -\int_U\left (\nabla\varphi\cdot\nabla\psi\right)\, dV,

on \Delta =\nabla^2 és l'operador Laplaciana.

Segona Identitat de Green[modifica | modifica el codi]

Si \phi i \psi són funcions contínuament diferenciables de classe C 2 les dues a U , aleshores:

\int_U\left (\psi\Delta\varphi -\varphi\Delta\psi\right)\, dV =\oint_{\partial U}\left (\psi\frac{\partial\varphi}{\partial n}-\varphi\frac{\partial\psi}{\partial n}\right)\, dS.

Tercera Identitat de Green[modifica | modifica el codi]

La tercera identitat de Green s'obté a partir de la segona particularitzant la funció \phi (y) a:

\varphi (i) =\frac{1}{|\mathbf{x}- i|}

En aquest cas, el·laplacià d'\phi (y) és:

\Delta\varphi (i) = - 4\pi\delta\left (\mathbf{x}- i\right)

La tercera identitat de Green diu que, si \psi és una funció contínuament diferenciable de classe C 2 a U , aleshores:

\oint_{\partial U}\left [\frac{1}{|\mathbf{x}- i|}\frac{\partial}{\partial n}\psi (\mathbf{i}) -\psi (\mathbf{i})\frac{\partial}{\partial n_\mathbf{i}}\frac{1}{|\mathbf{x}- i|}\right]\, dS_\mathbf{i}-\int_U\left [\frac{1}{|\mathbf{x}- i|}\Delta\psi (\mathbf{i})\right]\, dV_\mathbf{i}= k.

On:

 k = 4\pi\psi (x) si  x\in Int (U) ,
 k = 2\pi\psi (x) si  x\in\partial U i té un pla tangent a  x
 k = 0 a la resta de casos.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]