Identitats logarítmiques

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, existeixen moltes identitats logarítmiques.

Identitats algebraiques[modifica | modifica el codi]

Amb operacions simples[modifica | modifica el codi]

Els logaritmes s'utilitzen normalment per simplificar les operacions. Per exemple, els logaritmes ens permeten resoldre un càlcul que inclou multiplicacions simplement amb sumes.

 \log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y) \!\, donat que  b^x \cdot b^y = b^{x + y} \!\,
 \log_b\!\left(\begin{matrix}\frac{x}{y}\end{matrix}\right) = \log_b(x) - \log_b(y) donat que  \begin{matrix}\frac{b^x}{b^y}\end{matrix} = b^{x - y}
 \log_b(x^y) = y \log_b(x) \!\, donat que  (b^x)^y = b^{xy} \!\,
 \log_b\!\left(\!\sqrt[y]{x}\right) = \begin{matrix}\frac{\log_b(x)}{y}\end{matrix} donat que  \sqrt[y]{x} = x^{1/y}
 x^{\log_b(y)} = y^{\log_b(x)} \!\, donat que  x^{\log_b(y)} = b^{\log_b(x) \log_b(y)} = b^{\log_b(y) \log_b(x)} = y^{\log_b(x)} \!\,

On b, x i y nombres reals positius i b \ne 1.

Sumes/Restes[modifica | modifica el codi]

Les següents sumes/restes són especialment útils en teoria de probabilitats quan es tracta d'una suma/resta de probabilitats logarítmiques:

\log_b (a+c) = \log_b a + \log_b (1+b^{\log_b c - \log_b a})
\log_b (a-c) = \log_b a + \log_b (1-b^{\log_b c - \log_b a})

En particular:

\log_b (a+c) = \log_b a + \log_b \left(1+\frac{c}{a}\right)
\log_b (a-c) = \log_b a + \log_b \left(1-\frac{c}{a}\right)

Identitats trivials[modifica | modifica el codi]

 \log_b(1) = 0 \!\, donat que  b^0 = 1\!\,
 \log_b(b) = 1 \!\, donat que  b^1 = b\!\,

Fixem-nos que  \log_b(0) \!\, no existeix perquè no hi ha cap nombre  x \!\, tal que  b^x = 0 \!\, . De fet, hi ha una asímptota vertical al gràfic de la funció  f(x) = \log_b(x) \!\, quan x=0\!\,.

Cancelant exponencials[modifica | modifica el codi]

Els logaritmes i exponencials (antilogaritmes) amb la mateixa base es cancel·len. Això és degut al fet que els logaritmes i els exponencials són operacions inverses (tal com passa amb la multiplicació i la divisió).

 b^{\log_b(x)} = x donat que  \mathrm{antilog}_b(\log_b(x)) = x \!\,
 \log_b(b^x) = x \!\, donat que  \log_b(\mathrm{antilog}_b(x)) = x \!\,

Canvi de base[modifica | modifica el codi]

\log_a b = {\log_c b \over \log_c a}

Aquesta relació és necessària per trobar els valor d'un logaritme amb una calculadora. Per exemple, la majoria de calculadores tenen els botons ln i log10, però no log2. Per trobar log2(3), hem de calcular log10(3) / log10(2) (o ln(3)/ln(2), que té el mateix resultat).

Demostració[modifica | modifica el codi]

Tenim y=\log_a b \,.
I per tant a^y=b \,.
Si agafem \log_c \, als dos membres: \log_c a^y=\log_c b\,
Simplificant i resolent:  y\log_c a=\log_c b\,
y=\frac{\log_c b}{\log_c a}
Donat que y=\log_a b \,, llavors \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}

Conseqüències[modifica | modifica el codi]

Aquesta fórmula té unes quantes conseqüències:

 \log_a b = \frac {1} {\log_b a}
 \log_{a^n} b =  {{\log_a b} \over n}
 a^{\log_b c} = c^{\log_b a}
- \log_a b = \log_a \left({1 \over b}\right) = \log_{1 \over a} b


 \log_{a_1}b_1 \,\cdots\, \log_{a_n}b_n
= \log_{a_{\pi(1)}}b_1\, \cdots\, \log_{a_{\pi(n)}}b_n, \,

On \scriptstyle\pi\, és qualsevol permutació de les bases 1, ..., n. Per exemple

 \log_a w\cdot \log_b x\cdot \log_c y\cdot \log_d z 
= \log_d w\cdot \log_a x\cdot \log_b y\cdot \log_c z. \,

Identitats de càlcul[modifica | modifica el codi]

Límit[modifica | modifica el codi]

\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty \quad \mbox{si } a > 1
\lim_{x \to 0^+} \log_a x =  \infty \quad \mbox{si } a < 1
\lim_{x \to \infty} \log_a x =   \infty \quad \mbox{si } a > 1
\lim_{x \to \infty} \log_a x =  -\infty \quad \mbox{si } a < 1
\lim_{x \to 0^+} x^b \log_a x = 0
\lim_{x \to \infty} {1 \over x^b} \log_a x = 0

L'últim límit es resumeix dient que els logaritmes creixen més lentament que qualsevol potència o arrel de x.

Derivada de funcions logarítmiques[modifica | modifica el codi]

{d \over dx} \ln x = {1 \over x } = {1 \over x \ln e},\qquad x > 0
{d \over dx} \log_b x = {1 \over x \ln b},\qquad b > 0, b \ne 1

Definició a partir d'integral[modifica | modifica el codi]

\ln x = \int_1^x \frac {1}{t} dt

Integrals de funcions logarítmiques[modifica | modifica el codi]

\int \log_a x \, dx = x(\log_a x - \log_a e) + C

Per recordar integrals més grans, és necessari definir:

x^{\left [n \right]} = x^{n}(\log(x) - H_n)

On H_n és l'n-èssim nombre harmònic. Per exemple:

x^{\left [ 0 \right ]} = \log x
x^{\left [ 1 \right ]} = x \log(x) - x
x^{\left [ 2 \right ]} = x^2 \log(x) - \begin{matrix} \frac{3}{2} \end{matrix} \, x^2
x^{\left [ 3 \right ]} = x^3 \log(x) - \begin{matrix} \frac{11}{6} \end{matrix} \, x^3

Llavors,

\frac {d}{dx} \, x^{\left [ n \right ]} = n \, x^{\left [ n-1 \right ]}
\int x^{\left [ n \right ]}\,dx = \frac {x^{\left [ n+1 \right ]}} {n+1} + C