Incentre

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Un triangle (negre) amb la circumferència inscrita (blau), l'incentre (I), excentres (JA,JB,JB), bisectrius internes (vermell) i bisectrius externes (verd)

En geometria, l'incentre d'un triangle és el punt interior on es tallen les bisectrius dels seus angles. Els punts de tall de les bisectrius exteriors amb les interiors s'anomenen excentres del triangle.

Amb centre a l'incentre, es pot traçar una circumferència tangent als costats del triangle, anomenada circumferència inscrita. Anàlogament, amb centre als excentres es poden traçar tres circumferències tangents a les prolongacions dels costats.

L'incentre, juntament amb els tres centres externs, formen un sistema ortocèntric.

Els radis de la circumferència inscrita i de les circumferències externes estan relacionats amb l'àrea del triangle. Si S és l'àrea del triangle i els seus costats són a, b i c, llavors el radi de la circumferència inscrita és \frac{2S}{a+b+c}, la circumferència externa al costat a té radi \frac{2S}{-a+b+c}, la del costat b té radi \frac{2S}{a-b+c} i la del costat c té radi \frac{2S}{a+b-c}. D'aquestes fórmules es dedueix que les circumferències externes són sempre més grans que la interna al triangle, i que la més gran de totes és aquella tangent al costat més llarg.

Coordenades de l'incentre[modifica | modifica el codi]

Les coordenades cartesianes de l'incentre són una mitjana ponderada de les coordenades dels tres vèrtexs. Si els tres vèrtex estan situats a (x_a,y_a), (x_b,y_b), i (x_c,y_c), i els costats oposats del triangle tenen com a longituds a, b, i c, llavors l'incentre es troba a

\bigg(\frac{a x_a+b x_b+c x_c}{a+b+c},\frac{a y_a+b y_b+c y_c}{a+b+c}\bigg) = \frac{a}{a+b+c}(x_a,y_a)+\frac{b}{a+b+c}(x_b,y_b)+\frac{c}{a+b+c}(x_c,y_c).