Indeterminació (límit)

En càlcul, indeterminació o límit indeterminat és una expressió que s'utilitza a l'hora d'avaluar un límit quan no podem saber a priori quin serà el resultat d'aquest. Tot i això, utilitzant les propietats dels límits podem arribar a resoldre aquestes indeterminacions.

Idea intuïtiva

Per tal de comprendre què significa que un límit és indeterminat, es pot observar el següent exemple. Tenim, en primer lloc, que

$\frac{a}{\infty} = 0$

És a dir, que sigui quin sigui el valor de $\,a \in \mathbb{R}$, si el dividim per infinit donarà zero. Si aïllem la $\,a$, veiem que

$0 \cdot \infty = a$

Com hem vist abans, qualsevol nombre compleix la relació. Per tant, en multiplicar l'infinit per zero també podem obtenir qualsevol nombre, i no podem saber quin serà sense efectuar abans algunes operacions.

Indeterminacions

Seguint el procediment que hem explicat anteriorment, podem veure que hi ha fins a 7 indeterminacions, que són les següents:

$\frac{0}{0}, \; \frac{\infty}{\infty}, \; \infty - \infty, \; 0 \cdot \infty, \; 1^{\infty}, \; 0^0, \infty^0$

En tots els casos es pot arribar a resoldre el límit que ens hi condueix emprant un mètode determinat, que és diferent en cada cas.

Resolució d'indeterminacions

A continuació es mostren diferents procediments que es poden utilitzar per resoldre límits que condueixen a una indeterminació.

Cas infinit dividit d'infinit

Suposem que tenim un límit tal que

$\lim_{x \to a} f(x) = \frac{\infty}{\infty}$

Terme director

Si tenim un límit que tendeix a infinit i que consisteix en la divisió de dos polinomis, podem aplicar terme director per resoldre'l.

Suposem que tenim dos polinomis tals que $P(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n$ i $Q(x) = b_0 + b_1 x + \ldots + b_m x^m$. Llavors, el límit

$\lim_{x \to \infty} \frac{P(x)}{Q(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n}{b_m x^m}$

Demostració
Tenim el límit $\lim_{x \to \infty}\frac{a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n}{b_0 + b_1 x + \ldots + b_m x^m}$. Traient factor comú $\,x^n$ i $\,x^m$: $\lim_{x \to \infty}\frac{x^n(a_0 x^{-n} + a_1 x^{-n+1} + \ldots + a_n)}{x^m(b_0 x^{-m} + b_1 x^{-m+1} + \ldots + b_m}) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^n (0+0+\ldots+a_n)}{x^m(0+0+\ldots+b_m)} = \lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n}{b_m x^m}$

Per exemple, si hem de resoldre el següent límit:

$\lim_{x \to \infty} \frac {3x^2+3} {5x^2 - 2x} = \left( \frac{\infty}{\infty} \; \mathrm{ind.} \right)$

Aplicant terme director

$\lim_{x \to \infty} \frac {3x^2+3} {5x^2 - 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac {3x^2} {5x^2} = \frac{3}{5}$

Regla de l'Hôpital

La regla de l'Hôpital és vàlida per resoldre límits del tipus infinit dividit d'infinit. El que diu la regla és el següent:

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\infty}{\infty} \; \Rightarrow \; \lim_{x \to a} \frac {f(x)} {g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Per exemple, podem resoldre el següent límit:

$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \left(\frac{\infty}{\infty} \; \mathrm{ind.}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = 0$

Cas zero dividit per zero

Suposem que tenim un límit tal que

$\lim_{x \to a} f(x) = \frac{0}{0}$

Aquests límits es resolen normalment utilitzant la regla de l'Hôpital. Tot i això en alguns casos no serveix, i en d'altres no és necessari.

Utilitzant la regla de l'Hôpital

La regla de l'Hôpital diu el següent

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \; \Rightarrow \; \lim_{x \to a} \frac {f(x)} {g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Que també és aplicable quan el límit tendeix a infinit.

Anem a veure com s'aplica amb un exemple. Volem calcular el següent límit

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x} = \left( \frac{0}{0} \; \mathrm{ind.} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin x \cos x}{1} = \frac{2 \cdot (0) \cdot (1)}{1} = 0$

En alguns casos farà falta aplicar la regla de l'Hôpital més d'una vegada. Per exemple, quan resolem el següent límit:

$\lim_{x \to 0} \frac{1 + x - e^x}{x^2} = \left( \frac{0}{0} \; \mathrm{ind.} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{1 - e^x}{2x}$

Continua sent indeterminat encara que hem aplicat una vegada la regla. Com veiem, però, podem tornar a aplicar-la:

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - e^x}{2x} = \left( \frac{0}{0} \; \mathrm{ind.} \right) = \lim_{x \to 0} \frac {-e^x} {2} = \frac{-1}{2}$

Observació

Cal fixar-se en que el resultat del límit sigui igual a $\frac{0}{0}$, ja que aplicar la regla de l'Hôpital en altres casos conduirà a límits diferents de l'original.

Cas zero per infinit

Aquesta indeterminació es resol transformant el límit en un cas de zero dividit de zero o en un cas infinit dividit per infinit. Un cop fet això, caldrà resoldre el nou límit aplicant la regla de l'Hôpital.

Si per exemple tenim el límit:

$\lim_{x \to a} f(x) \cdot g(x) = 0 \cdot \infty$

Llavors podem obtenir aquests dos límits resolubles segons la regla de l'Hôpital:

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}} = \frac{0}{0}, \quad \lim_{x \to a} \frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}} = \frac{\infty}{\infty}$

Suposem que volem resoldre el següent límit:

$\lim_{x \to 0} x \ln x = (0 \cdot \infty \; \mathrm{ind.}) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}$

Aplicant la regla de l'Hôpital:

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}} = \lim_{x \to 0} -\frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 0} -x = 0$