Integració per discs

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Integració per discs
Càlcul infinitesimal
Tangent to a curve.svg
Generals

Teorema fonamental
Límit d'una funció
Funció contínua
Càlcul vectorial
Càlcul tensorial
Teorema del valor mitjà

Derivació

Regla del producte
Regla del quocient
Regla de la cadena
Teorema de Taylor
Derivació implícita
Taula de derivades

Integració

Taula d'integrals
Integrals impròpies
Tipus d'integració per:
parts, discs, substitució,
capes cilíndriques,
ordre d'integració
substitució trigonomètrica,
fraccions racionals

La integració per discs és un mitjà per calcular el volum d'un sòlid de revolució, en integrar al llarg de l'eix de revolució. Auqest mètode modela la forma generada de 3 dimenssionscom una "pila" d'un nombre infinit de discs (de radi variable) i de gruix infinitesimal. En comptes de "anells" les possible fer servir "discs" (el mètode d'anells) és per sòlids de revolucions "buits", i utilitza els mateixos principis en que es basa la integració per discs.

Definició[modifica | modifica el codi]

Funció de x[modifica | modifica el codi]

Si la funció que girant genera el sòlid és una funció de x, la següent integral representa el volum del sòlid de revolució:

\pi \int_a^b {\left[R(x)\right]}^2\ \mathrm{d}x

on R(x) és la distància entre la funció i l'eix de rotació. Això només funciona si l'eix de rotació és horitzontal (exemple: y = 3 constant).

Funció de y[modifica | modifica el codi]

Si la funció que girant genera el sòlid és una funció de y, la següent integral obtindrà el volum del sòlid de revolució:

\pi \int_c^d {\left[R(y)\right]}^2\ \mathrm{d}y

where R(y) is the distance between the function and the axis of rotation. This works only if the axis of rotation is vertical (example: x = 4 or some other constant).

On R(y) és la distància entre la funció i l'eix de rotació. Aixó només funciona si l'eix de rotació és vertical (exemple: x = 4 constant).

Sòlid "Buit" de revolució[modifica | modifica el codi]

Per obtenir el volum d'un sòlid de revolució "buit" (de vegades anomenat el "mètode de discs"), el rpocediment ha d'agafar el volum del sólid de revolució interior i restar-lo del exterior. Això es pot calcular amb una integral única integral com la següent:

\pi \int_a^b \left({\left[R_O(x)\right]}^2 - {\left[R_I(x)\right]}^2\right) \mathrm{d}x

on RO(x) és la funció que és més llunyana de l'eix de rotació i RI(x) és la funció que és més propera a l'eix de rotació. S'ha d'anar amb compte de no avaluar el quadrat de la diferència sinó la diferència dels quadrats de les dues funcions. {\left[R_O(x)\right]}^2 - {\left[R_I(x)\right]}^2\ \not\equiv \; {\left[R_O(x) - R_I(x)\right]}^2

NOTA: la fórmula citada només funciona per revolucions sobre l'eix d'abcisses.

Per girar entorn de l'eix horitzontal, simplement es resta cada fórmula d'aquell eix:

si h és el valor d'un eix horitzontal, llavors el volum =

\pi \int_a^b \left({\left[h-R_O(x)\right]}^2 - {\left[h-R_I(x)\right]}^2\right) \mathrm{d}x.

Per exemple, per girar la regió entre  y=-2x+x^2 i  y=x

al llarg de l'eix y=4, s'hauria d'integrar de la manera següent:

\pi \int_0^3 \left({\left[4-\left(-2x+x^2\right)\right]}^2 - {[4-x]}^2\right) \mathrm{d}x.

Fixeu-vos que en integrar al llarg d'un eix diferent de x, l'altre eix pot no ser tan obvi. A l'exemple previ, to ti que y=x és més amunt que  y=-2x+x^2 , aquest és més interior, ja que és més proper a y=4

La mateixa idea es pot aplicar a l'eix d'ordenades com a qualsevol altre eix vertical. Només cal resoldre cada equació per x abans que sìntrodueixi a la fórmula d'integració.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]