Integral de Duhamel

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La integral de Duhamel En la teoria de vibracions, és un mètode per calcular la resposta de sistemes lineals i estructures a excitacions externes arbitràries variables en el temps.

Introducció[modifica | modifica el codi]

Previ[modifica | modifica el codi]

La resposta d'un sistema lineal esmorteït d'un sol grau de llibertat a una excitació mecànica variable en el temps p(t) ve donada per l'equació diferencial ordinària de segon ordre següent:

m\frac{{d^2 x(t)}}{{dt^2 }} + c\frac{{dx(t)}}{{dt}} + kx(t) = p(t)

on m és la massa (equivalent), x és l'amplitud de vibració, t el temps, c el coeficient d' esmorteïment viscos, i k la rigidesa del sistema o estructura.

Si un sistema inicialment en repòs i en equilibri rep un impuls unitari a l'instant t=0, és a dir que p(t) a l'equació anterior és una funció delta δ(t), x(0) = \left. {\frac{{dx}}{{dt}}} \right|_{t = 0} = 0, aleshores la solució de l'equació diferencial és una solució fonamental coneguda com a funcio resposta a l'impuls unitari)

h(t)=\begin{cases} \frac{1}{{m\omega _d }}e^{ - \varsigma \omega _n t} \sin \omega _d t, & t > 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases}

on \varsigma = \frac{c}{{2m\omega _n }} rep el nom raó d'esmorteïment del sistema, \omega _n és la pulsació natural del sistema no esmorteït (és a dir, quan c=0) i \omega _d = \omega _n \sqrt {1 - \varsigma ^2 } és la freqüència circular quan es té en compte l'efecte de l'esmorteïment (és a dir quan c \ne 0). Si l'impuls es dóna a t=τ en lloc de t=0, és a dir p(t)=\delta (t - \tau ), la resposta a l'impuls és

h(t - \tau ) = \frac{1}{{m\omega _d }}e^{ - \varsigma \omega _n (t - \tau )} \sin [\omega _d (t - \tau )]t \ge \tau

Conclusió[modifica | modifica el codi]

Expressant l'excitació arbitrària p(t) com a la superposició d'una sèrie d'impulsos:

p(t) \approx \sum {p(\tau ) \cdot \Delta \tau \cdot \delta } (t - \tau )

aleshores, de la linealitat del sistema, se sap que la resposta total també es pot expressar com la superposició de la sèrie de respostes als impulsos:

x(t) \approx \sum {p(\tau ) \cdot \Delta \tau \cdot h} (t - \tau )

Si es fa \Delta \tau \to 0, i canviant la suma per una integral, l'equació anterior és estrictament vàlida

x(t) = \int_0^t {p(\tau )h(t - \tau )d\tau }

Substituint l'expressió de h(t-τ) en l'equació anterior porta a l'expressió general de la integral de Duhamel

x(t) = \frac{1}{{m\omega _d }}\int_0^t {p(\tau )e^{ - \varsigma \omega _n (t - \tau )} \sin [\omega _d (t - \tau )]d\tau }

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • R. W. Clough, J. Penzien, Dynamics of Structures, Mc-Graw Hill Inc., Nova York, 1975. (en angles)
  • Anil K. Chopra, Dynamics of Structures - Theory and applications to Earthquake Engineering, Pearson Education Asia Limited and Tsinghua University Press, Beijing, 2001 (en angles)
  • Leonard Meirovitch, Elements of Vibration Analysis, Mc-Graw Hill Inc., Singapore, 1986 (en angles)

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]