Integral de Gauß

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La integral de Gauß és una integral definida, que fou calculada per primera vegada per Gauß. És la base de la distribució normal (o distribució gaussiana). És un element fonamental de la teoria de la probabilitat.

La integral s'expressa habitualment com

\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}~,

o, de forma equivalent, com

\int_{0}^\infty e^{-x^2}\,dx= \frac {\sqrt{\pi}} 2.

La demostració d'aquesta integral està basada en el Teorema de Fubini.

El càlcul de la integral[modifica | modifica el codi]

El càlcul de la integral es pot obtenir a partir del teorema del residu de l'anàlisi complexa, i també es pot calcular amb un procediment analític.

Sigui I el valor d'aquesta integral. Aleshores,

I^2 = \int_{0}^\infty e^{-x^2}dx\, \int_{0}^\infty e^{-y^2}dy\, = \int_{0}^\infty\int_{0}^\infty e^{-(x^2+y^2)}dx dy~.

En la darrera d'aquestes igualtats estem emprant el teorema de Fubini. En la integració emprem dos símbols diferents, x i y, per a les dues variables d'integració perquè cadascuna d'elles hi juga un paper independent. Aquesta expressió es pot veure també com el producte de dues funcions simètriques respecte la recta y=x.

Ara passem a coordenades polars amb els canvi x = \rho cos \theta , y = \rho sin \theta , dx dy = \rho d\rho d\theta. . Obtenim així,

 I^2 = \iint_{\R^+ \times [0,\, \frac{\pi}{2}]} \mathrm{e}^{-\rho^2}\, \rho\, \mathrm d\rho\, \mathrm d\theta

Com abans, les variables \rho i \theta se separen. Per tant,

I^2 = \int_0^{\frac \pi 2}d\theta\,\int_0^\infty e^{-\rho^2}\rho d\rho

La primera integral és immediata. Per calcular la segona cal fer el canvi u en lloc de ρ² i canviar, per tant, ρ dρ per \frac {du} 2. Obtenim d'aquesta manera,

I^2 = \frac \pi 2 \int_0^\infty {\rho e^{-\rho^2} d\rho} = \frac \pi 4 \int_0^\infty {e^{-u}du} = \frac \pi 4

Com que l'exponencial és sempre positiva, fent l'arrel quadrada obtenim el resultat de la integral I, que estavem cercant. Això és,

I = \int_{0}^\infty e^{-x^2}\,dx= \frac {\sqrt{\pi}} 2.

La integral de les funcions gaussianes[modifica | modifica el codi]

La integral de qualsevol funció gaussiana es pot reduir a una integral de Gauss.

\int_{-\infty}^{\infty} ae^{-(x+b)^2/c^2}\,dx.

La constant a es pot treure fora de la integral. Aleshores, substituint x per y - b obtenim

a\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2/c^2}\,dy.

Fent el canvi de y per cz obtenim

ac\int_{-\infty}^\infty e^{-z^2}\,dz
=ac\sqrt{\pi}.