Interpolació polinòmica de Lagrange

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En anàlisi numèrica, el polinomi de Lagrange , anomenat així en honor a Joseph-Louis Lagrange, és el polinomi que interpola un conjunt de punts donat en la forma de Lagrange . Va ser descobert per Edward Waring el 1779 i redescobert més tard per Leonhard Euler el 1783.

Atès que hi ha un únic polinomi interpolador per a un determinat conjunt de punts, resulta una mica confús anomenar-lo polinomi interpolador de Lagrange. Un nom més concís és interpolació polinòmica en la forma de Lagrange.

En aquesta imatge es mostren, per a quatre punts ( (-9, 5) , (-4, 2) , (-1, -2) , (7, 9) ), la interpolation polinòmica (cúbica) L ( x ) , que és la suma de les bases polinòmiques escalades i 0 l 0 ( x ) , i 1 l 1 ( x ) , i 2 l 2 ( x ) i i 3 l 3 ( x ) . La interpolació polinòmica passa exactament pels quatre punts (anomenats punts de control) i cada base polinòmica escalada passa pel seu respectiu punt de control i s'anul quan x correspon als altres punts de control.

Definició[modifica | modifica el codi]

Donat un conjunt de k +1 punts

 (x_0, y_0), \ldots, (x_k, y_k)

on tots els x j s'assumeixen diferents, el polinomi interpolador en la forma de Lagrange és la combinació lineal

 L (x) = \sum_{j = 0}^{k}y_j \ell_j (x)

de bases polinòmiques de Lagrange

 \ell_j (x) = \prod_{i = 0, \, i \neq j}^{k}\frac{x-x_i}{x_j-x_i}= \frac{x-x_0}{x_j -x_0}\cdots \frac{x-x_{j-1}}{x_j-x_{j-1}}\frac{x-x_{j+1}}{x_j-x_{j+1}}\cdots \frac{x-x_{k}}{x_j-x_{k}}

Demostració[modifica | modifica el codi]

La funció que estem buscant és una funció polinòmica L ( x ) de grau k amb

 L (x_j) = y_j \qquad j = 0, \ldots, k

El polinomi en la forma de Lagrange és una solució al problema d'interpolació:

Com es pot veure fàcilment

  1.  \ell_j (x) és un polinomi i és de grau k .
  2.  \ell_i (x_j) = \delta_{ij}, \quad 0 \leq i, j \leq k \,

On \, \delta_{ij} és la delta de Kronecker. Així, la funció L ( x ) és un polinomi de grau k i

 L (x_i) = \sum_{j = 0}^{k}y_j \ell_j (x_i) = y_i.

El problema d'interpolació pot tenir tan sols una solució, ja que la diferència entre dues tals solucions, seria un altre polinomi de grau k com a màxim, amb k +1 zeros.

Per tant, L ( x ) és l'únic polinomi interpolador.

Concepte[modifica | modifica el codi]

La resolució d'un problema d'interpolació porta a un problema d'àlgebra lineal en el qual s'ha de resoldre un sistema d'equacions. Usant una base monòmica estàndard per al nostre polinomi interpolador, arribem a la matriu de Vandermonde. Triant una base diferent, la base de Lagrange, arribem a la forma més simple de matriu identitat = δ i,j , que pot resoldre immediatament.

Ús[modifica | modifica el codi]

Exemple[modifica | modifica el codi]

La funció tangent i la seva interpolador.

Es vol interpolar  f (x) = \tan (x) en els punts

 X_0 =- 01/05  f (x_0) =- 14.1014
 X_1 =- 0,75  f (x_1) =- 0,931596
 X_2 = 0  f (x_2) = 0
 X_3 = 0,75  f (x_3) = 0,931596
 X_4 = 1.5  f (x_4) = 14.1014

Amb cinc punts, el polinomi interpolador tindrà, com a màxim, grau quatre (és a dir, la màxima potència serà quatre), igual que cada component de la base polinòmica.

La base polinòmica és:

 \ell_0 (x) ={x - x_1 \over x_0 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_0 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_0 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_0 - x_4}
 ={1 \over 243}x (2x-3) (4x-3) (4x+3)
 \ell_1 (x) ={x - x_0 \over x_1 - x_0}\cdot{x - x_2 \over x_1 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_1 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_1 - x_4}
 =-{8 \over 243}x (2x-3) (2x+3) (4x-3)
 \ell_2 (x) ={x - x_0 \over x_2 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_2 - x_1}\cdot{x - x_3 \over x_2 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_2 - x_4}
 ={1 \over 243}(243-540x^2+192x^4)
 \ell_3 (x) ={x - x_0 \over x_3 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_3 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_3 - x_2}\cdot{x - x_4 \over x_3 - x_4}
 =-{8 \over 243}x (2x-3) (2x+3) (4x+3)
 \ell_4 (x) ={x - x_0 \over x_4 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_4 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_4 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_4 - x_3}
 ={1 \over 243}x (2x+3) (4x-3) (4x+3)

Així, el polinomi interpolador lampara s'obté simplement com la combinació lineal entre els  \ell_i (x) i els valors de les abscissa s:

{1 \over 243}\big (f (x_0) x (2x-3) (4x-3) (4x+3)-8f (x_1) x (2x-3) (2x+3) ( 4x-3)
+F (x_2) (243-540x^2+192x^4)-8f (x_3) x (2x-3) (2x+3) (4x+3) \,
+F (x_4) x (2x+3) (4x-3) (4x+3) \big) \,
 =- 1.47748x+4.83456x^3. \,

Desavantatges del seu ús[modifica | modifica el codi]

No sempre funciona correctament amb quantitats més grans de sis punts. A mesura que creix el grau del polinomi interpolador, es percebi una creixent variació entre punts de control consecutius, el que produeix que l'aproximació entre dos punts continus es molt diferent de la que s'esperaria. És complicat per a càlculs manuals.

Altres aplicacions[modifica | modifica el codi]

Encara que el polinomi interpolador de Lagrange es fa servir principalment per interpolar funcions i implementar això fàcilment en un ordinador, també té altres aplicacions en el camp de l'àlgebra exacta, el que ha fet més cèlebre a aquest polinomi, per exemple en el camp dels projectors ortogonals :

Sigui un espai vectorial complex de dimensió finita E en el qual definim un producte escalar (no necessàriament l'usual). Sigui F un operador normal, tal que gràcies al teorema de la descomposició espectral és igual a  \sum_{i = 1}^{n}\lambda_{i}P_{i}. On  P_i són els projectors ortogonals i  \lambda_i els autovectores de F associats a cada projector. Llavors:

 P_i = \prod_{i \neq j}\frac{F-\lambda_jI}{\lambda_i-\lambda_j}= l_i (F)

Sent I la matriu identitat.


Demostració:

Fent ús de la descomponsición espectral i aplicant les propietats dels projectors:

 l_i (F) = l_i (\sum_{j = 1}^{n}\lambda_jP_j) = \sum_{j = 1}^{n}l_i (\lambda_j) P_j = \sum_{j = 1}^{n}\Delta_{ij}P_j = P_i


Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]