Involució

Una involució és una aplicació $f:A\rightarrow A$ tal que és igual a la seva pròpia inversa, i per tant dues aplicacions successives de la funció equivalen a la funció identitat: $(f\circ f)(x) = f(f(x)) = f^2(x) = Id(x) = x$, on $x \in A$.

El concepte és extensible a lleis de composició binàries. Sigui $(C,*)$ un grupoide o magma unitari, amb l'element neutre denotat per e. Direm que un element $x:C$ és involutiu si $x*x=e$. La llei de composició interna $*:C\times C \rightarrow C$ és involutiva per l'esquerra si té un únic element neutre per l'esquerra i tots els elements de C són involutius: $\exists_1 e:C \bullet \forall x:C \bullet (e * x = x) \and (x*x=e)$. De forma similar definim una llei involutiva per la dreta: $\exists_1 e:C \bullet \forall x:C \bullet (x * e = x) \and (x*x=e)$. Una operació és simplement involutiva si és involutiva per la dreta i per l'esquerra, és a dir, que el seu element neutre és una unitat bilateral.

De forma equivalent, podem dir que una llei és involutiva (per l'esquerra, per la dreta o bilateral), si i només si, és unitària (per l'esquerra, per la dreta o bilateral, respectivament) i devolutiva, i l'element neutre és igual a l'element devolutiu.