Involució

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Una involució és una aplicació f:A\rightarrow A tal que és igual a la seva pròpia inversa, i per tant dues aplicacions successives de la funció equivalen a la funció identitat: (f\circ f)(x) = f(f(x)) = f^2(x) = Id(x) = x, on x \in A.


El concepte és extensible a lleis de composició binàries. Sigui (C,*) un grupoide o magma unitari, amb l'element neutre denotat per e. Direm que un element x:C és involutiu si x*x=e. La llei de composició interna *:C\times C \rightarrow C és involutiva per l'esquerra si té un únic element neutre per l'esquerra i tots els elements de C són involutius: \exists_1 e:C \bullet \forall x:C \bullet (e * x = x) \and (x*x=e). De forma similar definim una llei involutiva per la dreta: \exists_1 e:C \bullet \forall x:C \bullet (x * e = x) \and (x*x=e). Una operació és simplement involutiva si és involutiva per la dreta i per l'esquerra, és a dir, que el seu element neutre és una unitat bilateral.

De forma equivalent, podem dir que una llei és involutiva (per l'esquerra, per la dreta o bilateral), si i només si, és unitària (per l'esquerra, per la dreta o bilateral, respectivament) i devolutiva, i l'element neutre és igual a l'element devolutiu.