Involuta

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En geometria diferencial de corbes, un involuta (també coneguda com a evolvent) és una corba obtinguda a partir d'una altra corba donada adjuntant-li una corda tibant imaginària a la corba donada i traçant el camí que ressegueix el seu extrem lliure mentre la corda s'enrotlla a la corba donada; o a la inversa, es desenrotlla. És una ruleta on la corba que roda és una recta que conté el punt que genera la involuta.

Alternativament, una altra manera de construir la involuta d'una corba és canviar la corda tibant per un segment de recta que és tangent a la corba en un extrem, mentre que l'altre extrem traça la involuta. La llargada del segment de recta va variant per tal que es mantingui igual a la llargada d'arc que es recorregut en la corba quan el punt de tangència es mou al llarg de la corba.

L'evoluta d'una involuta és la corba original, tret de les zones de curvatura zero o indefinida. Compareu Media:Evolute2.gif i Media:Involute.gif

Si la funció r:\mathbb R\to\mathbb R^n és una parametrització natural de la corba (és a dir |r^\prime(s)|=1 per a tot s ), llavors :t\mapsto r(t)-tr^\prime(t)

parametrtza la involuta.

Expressió paramètrica de la involuta d'una corba[modifica | modifica el codi]

Les equacions paramètriques de la involuta d'una corba definida per (x(t), y(t)) són:

X[x,y]=x-\frac{x'\int_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}

Y[x,y]=y-\frac{y'\int_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}

Exemples[modifica | modifica el codi]

Involuta d'un cercle
La involuta d'una circumferència
La involuta d'una catenària, una tractriu.

Involuta d'un circumferència[modifica | modifica el codi]

La involuta d'un circumferència té una forma que s'assembla a una espiral d'Arquimedes.

\, x = a \left( \cos\ t + t\sin\ t \right)
\, y = a \left( \sin\ t - t\cos\ t \right)

on \, a és el radi de la circumferència i \, t és un paràmetre igual a l'angle en radians

\, r=a\sec\alpha
\, \theta = \tan\alpha - \alpha

on \, a és el radi de la circumferència i \, \alpha és un paràmetre.

Sovint una involuta de circumferència s'expressa troba en la forma:

\, r = a \sqrt{1+t^2}
\, \theta = \arctan \frac{\sin t - t \cos t}{\cos t + t \sin t}.

Leonhard Euler va proposar de fer servir la involuta de la circumferència per a la forma de les dents dels engranatges, un disseny que encara avui és que que es fa servir, anomenat dents de perfil d'evolvent.

Involuta d'una catenària[modifica | modifica el codi]

La involuta d'una catenària que la toca en el seu vèrtex és un tractriu. Les equacions en coordenades cartesianes de la corba són:

x=t-\mathrm{tanh}(t)\,

y=\mathrm{sech}(t)\,

On: t és un paràmetre i sech és la secant hiperbòlica (1/cosh(x))

Derivada

Amb r(s)=(\sinh^{-1}(s),\cosh(\sinh^{-1}(s)))\,

es té r^\prime(s)=(1,s)/\sqrt{1+s^2}\,

i r(t)-tr^\prime(t)=(\sinh^{-1}(t)-t/\sqrt{1+t^2},1/\sqrt{1+t^2}).

Substitut t=\sqrt{1-y^2}/y

s'bté ({\rm sech}^{-1}(y)-\sqrt{1-y^2},y).

Involuta d'una cicloide[modifica | modifica el codi]

Una involuta d'una cicloide és una cicloide congruent. En coordenades cartesianes la corba compleix:

x=r(t-\sin(t))\,
y=r(1-\cos(t))\,

On t és l'angle i r és el radi

Aplicació[modifica | modifica el codi]

La involuta té algunes propietats que la fan extremadament important per la indústria de fabricació d'engranatges: Si dues rodes dentades tenen dents amb forma de perfil d'involutes (en comptes de, per exemple, una forma triangular "clàssica"). La relació entre les seves velocitats de rotació es manté constant a mesura que les dents llisquen entre elles, i també, les dents sempre fan contacte al llarg d'una línia recta única per la que es transmet la força de contacte. Amb dents d'altres formes, les velocitats i forces augmenten i disminueixen a mesura que les successives dents llisquen entre elles, ocasionant vibració, soroll, i desgast excessiu. Per aquesta raó, gairebé totes les dents d'engranatges modernes tenen forma d'involuta.

La involuta d'una circumferència és també una forma important en la compressió de gassos, ja que els compressors de cargol es poden construir en base a aquesta forma. Fan menys soroll que els compresors convencionals, i s'ha demostrat que són bastant eficients.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Involuta Modifica l'enllaç a Wikidata