John Wallis

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
John Wallis
Retrat pintat per Godfrey Kneller (1701)
Retrat pintat per Godfrey Kneller (1701)
Naixement 23 de novembre de 1616
Ashford, Kent, Anglaterra
Mort 28 d'octubre de 1703 (als 86 anys)
Oxford, Anglaterra
Camp Matemàtiques
Institucions Universitat d'Oxford
Universitat de Cambridge
Alma mater Emmanuel College, Universitat de Cambridge
Estudiants
notables  
William Brouncker
Treball(s) Inventor del símbol
Ha influenciat Newton
Influències de William Oughtred
François Viète
Descartes
Religió Purità

John Wallis va ser el matemàtic anglès més influent del segle XVII abans de Newton. Se'l coneix per les seves aportacions que conduirien al càlcul infinitesimal.

Vida[modifica | modifica el codi]

Wallis era el fill gran de John Wallis, un graduat del Trinity College de Cambridge que era pastor de la parròquia d'Ashford (Kent) al sud d'Anglaterra i personatge conegut i estimat dels seus parroquians. El seu pare va morir quan només tenia sis anys i va ser educat per la seva mare, Joanna Chapman, que el va fer dur a l'escola a Tenterden (Kent), a l'escola de Martin Holbeach a Felsted (Essex) i, finalment, al Emmanuel College de la Universitat de Cambridge.[1] Aquestes escoles estaven fonamentalment dirigides als estudis humanístics (LLatí, Grec, Literatura, ...) i el Emmanuel College a la Teologia (era conegut com el College purità de la Universitat); per tant, el contacte del jove Wallis amb les matemàtiques va ser escàs i, tal com reconeix ell mateix a la seva autobiografia, desordenat.[2] Tot i així en va sentir una forta inclinació i llegia llibres de matemàtiques en el seu temps lliure.

Es va graduar a Cambridge el 1637 i allà va continuar els seus estudis fins a obtenir el Master of Arts el 1640. Aquest mateix any rep les ordes sacerdotals del bisbe de Winchester i és nomenat capellà de Sir Richard Darley a Yorkshire. Entre 1642 i 1644 va ser capellà a Essex i a Londres. Durant la Guerra Civil Anglesa (1642-1651) va ser fervent partidari dels parlamentaris en contra del reialistes, tot i que es va oposar a l'execució del rei Carles I.

El 1642 va aconseguir desxifrar un missatge dels reialistes, el que li va valdre l'amistat d'Oliver Cromwell i va fer paleses les seves habilitats matemàtiques, treballant en els anys successius com a criptògraf pel parlament britànic.

El 1644 és nomenat fellow del Queen's College de Cambridge, càrrec que només mantindrà un any, ja que el 14 de maig de 1645 es casa amb Susanna Glyde (els fellows dels colleges havien de ser solters).

El 1647 llegeix el Clavis Mathematicae d'Oughtred i es sent tant impactat que comença a estudiar matemàtiques de forma sistemàtica per si mateix, redescobrint la solució de la cúbica de Cardano.[3]

El 1649 és nomenat, sorprenentment, per Cromwell savilian professor de geometria a la Universitat d'Oxford. La universitat d'Oxford havia estat un bastió dels parlamentaris durant la Guerra Civil i els dos savilian professors (de geometria, Peter Turner, i d'astronomia, John Greaves, substituït per Seth Ward) havien estat destituïts dels seus càrrecs el 1648 per les seves tendències reialistes. El nomenament de Wallis era sorprenent perquè no era un reputat matemàtic i, a més, era un home de Cambridge, però havia estat al costat correcte durant la guerra civil.[4]

Això no obstant, en restaurar-se la corona el 1660 amb Carles II, va mantenir la seva càtedra gràcies, en part, a haver-se oposat a l'execució del rei en els anys 40's. També cal dir que, malgrat la irregularitat del seu nomenament, va fer honor al càrrec (que va ocupar durant més de cinquanta anys), convertint-se en el matemàtic més prestigiós d'Anglaterra abans de l'aparició d'Isaac Newton.[5] Carles II no només el va confirmar en el seu càrrec a Oxford, sinó que el va nomenar capellà reial i membre de la comissió de reforma del llibre de pregàries.

També va generar molta controvèrsia el seu nomenament com a curator (custodi) dels arxius de la Universitat el 1657. Però en aquest cas també cal dir que el seu sistema de catalogació que va establir-se, va perdurar fins al 1930. El seu zel en la cura dels documents era quasi tant intens com la seva passió per les matemàtiques.[6]

Va ser enterrat a l'església de Santa Maria de la Universitat d'Oxford i el seu epitafi, escrit pel seu fill, resa així:

Joannes Wallis, S.T.P., Geometriae Professor Savilianus, et Custos Archivarum Oxon. Hic dormit. Opera reliquit immortalia … (Aquí dorm John Wallis, Doctor en Teologia, Savilian Professor de Geometria, i Custodi dels Arxius d'Oxford. Ens va deixar obres immortals …)

Obra[modifica | modifica el codi]

Totes les obres de Wallis van ser publicades (i probablement, escrites) durant el seu llarg període (54 anys) a la Universitat d'Oxford. Tot i que la seva importància rau en el camp de les matemàtiques, també va escriure obres en d'altres camps com la seva Grammatica Linguae Anglicanae (1653), que va ser una obra cabdal en l'anàlisi de l'estructura lingüística de l'anglès,[7] algunes obres sobre fonologia i altres sobre teologia.

Operum Mathematicorum 1656-1657[modifica | modifica el codi]

L'Operum Mathematicorum és un compendi dels diversos treballs matemàtics de Wallis en els seus primers anys a Oxford. A més del seu discurs inaugural, conté altres llibres interessants que es relacionen a continuació:

Mathesis Universalis[modifica | modifica el codi]

Mathesis universalis, seu opus arithmeticum és el text que serveix d'introducció del ja citat Operum Mathematicorum. És tracta, doncs, d'un text elemental que presenta la disciplina, tant des del punt de vista històric,[8] com temàtic. El més modern del text és el tractament de les notacions matemàtiques, subratllant les grans avantatges d'un simbolisme unificat i suggerent.

Arithmetica Infinitorum[modifica | modifica el codi]

Portada de l'Arithmetica Infinitorum (1656)

El seu llibre més remarcable és l'Arithmetica Infinitorum (L'Aritmética dels infinitesimals) (1656).[9] El llibre va ser començat el 1651, poc temps després d'arribar a Oxford, i acabat a començaments de 1655.[10]

L'avenç fonamental de Wallis va ser convertir les idees geomètriques de la teoria dels indivisibles de Cavalieri i Torricelli en un problema aritmètic. Per determinar la superfície entre x=0 i x=x_0 sota la corba y = x^2 ho fa dient que aquesta àrea és una porció del rectangle total y_0 x_0; a cada abscissa concreta, la porció sota la corba ve donada per la fracció x^2 / x_0^2. Com que d'aquestes abscisses n'hi ha infinites, el que necessitava calcular era una fracció amb infinits sumands en el numerador i infinits sumands en el denominador: en termes moderns ho expressaríem així:[11]

\lim_{n \to \infty} \frac{0^2+1^2+2^2+3^2+...+n^2}{n^2+n^2+n^2+n^2+...+n^2}

Per a calcular aquesta expressió adopta el que ell anomena inducció (i que no és el mateix que el que avui anomenem inducció matemàtica) i tria els següents casos:[12]

\frac{0+1}{1+1}=\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}. .. . per a n=1
Aproximacions successives a la superfície de la corba y=x²
\frac{0+1+4}{4+4+4}=\frac{5}{12}=\frac{1}{3}+\frac{1}{12}. .. . per a n=2
\frac{0+1+4+9}{9+9+9+9}=\frac{14}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{18}. .. . per a n=3

i, en general,

\frac{0^2+1^2+2^2+...+n^2}{n^2+n^2+n^2+...+n^2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6n}. .. . per a qualsevol n

Wallis conclou que si el nombre de termes és infinit, és a dir, si les línies abscisses omplen la superfície desitjada, la fracció serà exactament 1/3, ja que 1/6n serà zero. Lo qual és un resultat exacte, però al que Wallis hi arriba, i aquesta és la novetat, per procediments purament aritmètics, i no pas per procediments geomètrics com havien fet els seus antecessors.

Wallis, però, no es detura aquí, sinó que calcula la mateixa ràtio per al cub i li dóna 1/4 i tonant a aplicar la inducció, conclou que

\frac{0^k+1^k+2^k+...+n^k}{n^k+n^k+n^k+...+n^k}=\frac{1}{k+1}

sempre que existeixen un infinit nombre de termes.

El següent pas de Wallis és generalitzar aquests resultats per a altres potències (negatives o fraccionàries) utilitzant l'analogia.[13] Quan intenta calcular la superfície sota una circumferència (un quadrant), necessita sumar termes de la forma (R^2+(ka)^2)^{1/2},[14] cosa que no pot fer sense el teorema general del binomi, demostrat per Newton anys més tard. Després de nombrosos intents, incloent procediments d'interpolació, Wallis comença a tenir la sensació d'estar batallant amb un nombre que no és ni racional ni irracional (avui els diem transcendents) i és així com arriba a la seva coneguda fórmula del nombre π:

\frac{4}{\pi} = \frac{3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \cdot 9^2 \cdot 11^2 ...}{2 \cdot 4^2 \cdot 6^2 \cdot 8^2 \cdot 10^2 ...} [15]

De sectionibus conicis[modifica | modifica el codi]

En el mateix volum que l'Arithmetica Infinitorum, es publica el De sectionibus conicis, on tracta les corbes planes generades per les seccions còniques des del punt de vista de la geometria analítica, introduïda per Descartes anys abans, i no des del punt de vista sintètic tradicional.

És en aquest llibre on s'introdueix per primera vegada el símbol \infty per al infinit.

Tractatus duo de Cycloide (1659)[modifica | modifica el codi]

Com a resultat de la seva participació en la competició que va proposar Pascal el 1658 sobre la quadratura, curvatura i centre de gravetat de certes figures limitades per arcs de cicloides (i que va resultar deserta), Wallis va publicar el 1659 aquest llibre, en el que reprèn els seus mètodes analítics. Tot i tractar-se d'una solució geomètrica i no pas aritmètica, en aquest llibre es reprodueix la solució donada per William Neile a la mesura de la longitud de la paràbola semi cúbica.

Mechanica: Sive, De Motu (1670)[modifica | modifica el codi]

La primera part tracta de les diverses formes de moviment, tractades de forma estrictament geomètrica (euclidiana) i, en particular, tracta de la caiguda lliure com una de les formes de moviment. En el capítol final parla de la balança i introdueix la idea de moment, que serà central en els càlculs de centres de gravetat de la part següent.

En la segona part estudia els centres de gravetat de les figures i està conduïda en forma analítica com en els seus treballs anteriors des de 1650.

Treatise of Algebra, Both Historical and Practical (1685)[modifica | modifica el codi]

És l'única obra del autor publicada en anglès i es tracta d'una aproximació a l'àlgebra des del punt de vista històric,[8] cosa no feta abans per cap altra autor. La seva exposició temàtica està quasi totalment basada en el Clavis Mathematicae de William Oughtred i en el Artis Analyticae Praxis de Thomas Harriot.

Opera Mathematica (1693-1699)[modifica | modifica el codi]

Al final de la seva vida va publicar aquests tres volums en els que s'inclouen les obres ja abans citades, així com d'altres materials publicats al llarg de la seva vida.

Un dels articles interessants inclosos en aquest llibre, és un intent de demostració del Cinquè Postulat d'Euclides, basat en una antiga demostració de Nàssir-ad-Din at-Tussí (segle XIII), que havia estat traduïda per l'orientalista d'Oxford Edward Pococke. Wallis, com Nàssir-ad-Din (a qui anomena Nassarradinus), no cau en el compte de que en la seva demostració utilitza, sense esmentar-ho, un altre postulat que és equivalent al de les paral·leles: existeix un triangle de mida arbitràriament gran.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Pycior, pàgina 103.
  2. Pycior, pàgina 104.
  3. Faubel & Flood, pàgines 115-116.
  4. Katz, pàgina 444.
  5. Faubel & Flood, pàgina 116.
  6. Faubel & Flood, pàgina 132.
  7. Constantinescu
  8. 8,0 8,1 Per a una visió de Wallis com historiador de les matemàtiques, veure Scott
  9. Traduït a l'anglès i anotat per Stedall (2004).
  10. Stedall (2005), pàgina 23.
  11. Katz, pàgines 443-444
  12. Stedall (2005), pàgines 25 i 26.
  13. Katz, pàgina 445.
  14. Stedall (2005), pàgina 27.
  15. Katz, pàgina 446.

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: John Wallis Modifica l'enllaç a Wikidata
  • O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. «John Wallis» (en anglès). MacTutor History of Mathematics archive. (anglès)
  • Scriba, Christoph J. Wallis, John. Complete Dictionary of Scientific Biography. 2008. Encyclopedia.com. Consulta 5 abril 2014.
  • «Wallis John»., The Galileo Project, Richard Westfall.
  • «John Wallis»., Mathematics Genealogy Project.